Et prisme er et geometrisk legeme, et polyeder, hvis baser er like polygoner, og sideflatene er parallellogram. For de uinnvidde kan dette høres litt skremmende ut. Og når barnet ditt trenger å ta med et prisme som er laget hjemme til en geometrieleksjon, er du på et savn og vet ikke hvordan du kan hjelpe ditt elskede barn. Faktisk er alt ikke så vanskelig, og ved å bruke våre råd om hvordan du lager et prisme, vil du takle dette problemet tilstrekkelig.

Hvordan lage et papirprisme

Vi blir umiddelbart enige om hva vi skal gjøre med et rett prisme, det vil si et prisme hvis sidekanter vil være vinkelrett på basene. Å lage et skrått prisme av papir er veldig problematisk (slike oppsett er vanligvis laget av wire).

Vi vet allerede at to identiske polygoner ligger ved grunnen av prismen. Derfor vil vi starte arbeidet med dem. Den enkleste av polygonene er trekanten. Dette betyr at vi først vil gjøre prismen trekantet.

Hvordan lage et trekantet prisme

Vi trenger tykt hvitt papir for skisse, en blyant, en vinkelmåler, et par kompasser, en linjal, saks og lim.

Vi tegner en trekant, alt er mulig, men for å gjøre prismen vår spesielt vakker, vil vi gjøre trekanten likesidet. Et slikt prisme i geometri kalles "riktig". Vi velger etter eget skjønn størrelsen på siden av trekanten, la oss si 10 cm. Med en linjal legger vi dette segmentet på papir og måler en vinkel på 60 ∗ fra den ene enden av segmentet vårt med en vinkelmåler.

Vi tegner en skrå linje. På den, ved hjelp av en linjal, lå 10 cm fra enden av segmentet. Dermed har vi funnet det tredje toppunktet i trekanten. Vi forbinder dette punktet med endene på det første segmentet, og den likesidet trekant er klar. Den kan kuttes. På samme måte lager vi den andre trekanten, eller skisserer konturene til den første forsiktig på papir. Vel, vi har allerede to grunner.

Vi lager sidekanter. Vi bestemmer hvilken høyde prismen vil ha. La oss si 20 cm. Vi tegner et rektangel der størrelsen på den ene siden er høyden på prismen (i vårt tilfelle 20 cm), og den andre siden er lik størrelsen på siden av basen, multiplisert med antall sider (vi har: 10 cm x 3 = 30 cm) ...

På langsidene gjør du merker hver 10. cm. Koble de motsatte merkene med rette linjer. Da vil det være nødvendig å bøye papiret forsiktig langs dem. Dette er sidekantene på prismen vårt. Vi skisserer smale kvoter for liming langs to lange og en kortsider av rektangelet (strimler på 1 cm bred er nok). Skjær ut rektangelet sammen med kvotene, bøy dem forsiktig langs merkene. Vi bøyer ribbeina.

Vi begynner å montere. Vi limer rektangelet langs sideflaten til et trekantet snittrør. Lim basetrekanter på toppen og bunnen av de bøyde kvotene. Prismen er klar.

Det er sannsynligvis ikke verdt å gå inn på detaljene i spørsmålet om hvordan man lager et prisme av papp. Hele monteringsalgoritmen forblir den samme, bare bytt papiret med tynn papp. Ved å endre antall sider ved basispolygonene, kan du nå lage dine egne fem- og sekskantede prismer.

I skolens læreplan for stereometri -kurset begynner studiet av volumetriske figurer vanligvis med en enkel geometrisk kropp - et polyeder av et prisme. Basenes rolle utføres av 2 like polygoner som ligger i parallelle plan. Et spesialtilfelle er et vanlig firkantet prisme. Basene er to identiske vanlige firkanter, som lateralsidene er vinkelrett på, i form av parallellogram (eller rektangler hvis prismen ikke er tilbøyelig).

Hvordan et prisme ser ut

Et vanlig firkantet prisme kalles en sekskant, ved basene som det er 2 firkanter, og sideflatene er representert med rektangler. Et annet navn på denne geometriske figuren er en rett parallellpiped.

En tegning som viser et firkantet prisme er vist nedenfor.

Bildet viser også de viktigste elementene som utgjør en geometrisk kropp... Det er vanlig å referere til dem:

Noen ganger i problemer med geometri kan man finne konseptet med en seksjon. Definisjonen vil lyde slik: et snitt er alle punkter i et volumetrisk legeme som tilhører et skjæreplan. Snittet er vinkelrett (det skjærer kantene på figuren i en vinkel på 90 grader). For et rektangulært prisme er det også vurdert en diagonal seksjon (det maksimale antall seksjoner som kan bygges er 2) som går gjennom 2 kanter og diagonaler på basen.

Hvis seksjonen er tegnet slik at skjæreplanet ikke er parallelt med verken basene eller sideflatene, blir resultatet et avkortet prisme.

Ulike relasjoner og formler brukes for å finne de reduserte prismatiske elementene. Noen av dem er kjent fra planimetri (for eksempel for å finne arealet til et prisme er det nok å huske formelen for arealet til et kvadrat).

Overflate og volum

For å bestemme volumet av et prisme ved hjelp av formelen, må du kjenne området til basen og høyden:

V = S hoved h

Siden basen til et vanlig tetrahedrisk prisme er en firkant med en side en, du kan skrive formelen mer detaljert:

V = a² t

Hvis vi snakker om en terning - et vanlig prisme med like lengde, bredde og høyde, beregnes volumet som følger:

For å forstå hvordan du finner området på et prisme på siden av et prisme, må du forestille deg hvordan det utspiller seg.

Tegningen viser at sideflaten består av 4 like rektangler. Arealet beregnes som produktet av basens omkrets og figurens høyde:

Siden = P hoved h

Tatt i betraktning at omkretsen av kvadratet er P = 4a, formelen har formen:

Siden = 4a h

For en kube:

Siden = 4a²

For å beregne det totale overflatearealet til prismen, legg til 2 grunnarealer til sidearealet:

S full = S side + 2S hoved

Når det gjelder et firkantet vanlig prisme, er formelen:

S totalt = 4a · h + 2a²

For overflaten på en kube:

S totalt = 6a²

Når du kjenner volumet eller overflatearealet, kan du beregne de enkelte elementene i den geometriske kroppen.

Finne prismeelementer

Ofte er det problemer der et volum er gitt eller verdien av sideflaten er kjent, hvor det er nødvendig å bestemme lengden på siden av basen eller høyden. I slike tilfeller kan formlene avledes:

• sokkel lengde: a = S side / 4h = √ (V / t);
• lengde på høyde eller side ribbe: h = Sideside / 4a = V / a²;
• grunnareal: Sosn = V / t;
• side ansikt område: S side. gr = S side / 4.

For å finne ut hvilket område en diagonal seksjon har, må du vite lengden på diagonalen og høyden på figuren. For en firkant d = a√2. Derfor:

Sdiag = ah√2

For å beregne diagonalet til prismen, bruk formelen:

dprize = √ (2a² + h²)

For å forstå hvordan du bruker ovennevnte forhold, kan du øve og løse noen få enkle oppgaver.

Eksempler på oppgaver med løsninger

Her er noen av oppgavene som finnes i delstatens avsluttende eksamener i matematikk.

Oppgave 1.

Sand helles i en eske i form av et vanlig firkantet prisme. Høyden på nivået er 10 cm. Hva blir nivået på sanden hvis du flytter den inn i en beholder med samme form, men med en grunnlengde 2 ganger lengre?

Det bør begrunnes som følger. Mengden sand i den første og andre beholderen endret seg ikke, det vil si at volumet i dem faller sammen. Du kan angi lengden på basen for en... I dette tilfellet, for den første boksen, vil volumet av stoffet være:

V₁ = ha² = 10a²

For den andre boksen er grunnlengden 2a, men høyden på sandnivået er ukjent:

V₂ = h (2a) ² = 4ha²

Fordi det V₁ = V₂, kan du likestille uttrykk:

10a² = 4ha²

Etter å ha kansellert begge sider av ligningen med a, får vi:

Som et resultat vil det nye sandnivået bli h = 10/4 = 2,5 cm.

Oppgave 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ er riktig prisme. Det er kjent at BD = AB₁ = 6√2. Finn kroppens totale overflateareal.

For å gjøre det lettere å forstå hvilke elementer som er kjent, kan du skildre en figur.

Siden vi snakker om riktig prisme, kan vi konkludere med at ved basen er det en firkant med en diagonal på 6√2. Diagonalet på sideflaten har samme størrelse, derfor har sideflaten også formen på en firkant som er lik basen. Det viser seg at alle tre dimensjonene - lengde, bredde og høyde - er like. Vi kan konkludere med at ABCDA₁B₁C₁D₁ er en terning.

Lengden på en hvilken som helst kant bestemmes gjennom den kjente diagonalen:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Det totale overflatearealet er funnet ved formelen for en kube:

Sful = 6a² = 6 6² = 216

Oppgave 3.

Rommet blir renovert. Det er kjent at gulvet er i form av et torg med et areal på 9 m². Høyden på rommet er 2,5 m. Hva er den laveste kostnaden for å tapetsere et rom hvis 1 m² koster 50 rubler?

Siden gulv og tak er firkanter, det vil si vanlige firkanter, og veggene er vinkelrett på horisontale overflater, kan vi konkludere med at det er et vanlig prisme. Det er nødvendig å bestemme området på sideflaten.

Lengden på rommet er a = √9 = 3 m.

Området vil bli dekket med tapet Sideside = 4 · 3 · 2,5 = 30 m².

Den laveste tapetkostnaden for dette rommet vil være 50 30 = 1500 rubler.

For å løse problemer på et rektangulært prisme er det derfor nok å kunne beregne arealet og omkretsen til et kvadrat og et rektangel, samt egne formler for å finne volum og overflateareal.

Hvordan finne arealet til en kube

Definisjon.

Dette er en sekskant, hvis baser er to like kvadrater, og sideflatene er like rektangler.

Side ribbe er felles side av to tilstøtende sideflater

Prisme høyde er et segment vinkelrett på prismenes baser

Diagonal prisme- et segment som forbinder to hjørner av basene som ikke tilhører samme flate

Diagonalt plan- et plan som passerer gjennom prismaets diagonal og sidekanter

Diagonal seksjon- grensene for skjæringspunktet mellom prisme og diagonalt plan. Den diagonale delen av et vanlig firkantet prisme er et rektangel

Vinkelrett seksjon (ortogonal seksjon) er skjæringspunktet mellom et prisme og et plan trukket vinkelrett på sidekantene

Elementer av et vanlig firkantet prisme

Figuren viser to vanlige firkantede prismer, som er angitt med de tilsvarende bokstavene:

• Basene ABCD og A 1 B 1 C 1 D 1 er like og parallelle med hverandre
• Sideflater AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C og CC 1 D 1 D, som hver er et rektangel
• Sideflate - summen av arealene på alle sideflater av prismen
• Full overflate - summen av arealene til alle baser og sideflater (summen av sideflaten og basene)
• Sideribb AA 1, BB 1, CC 1 og DD 1.
• Diagonal B 1 D
• Base diagonal BD
• Diagonal snitt BB 1 D 1 D
• Vinkelrett snitt A 2 B 2 C 2 D 2.

Egenskaper for et vanlig firkantet prisme

• Basene er to like kvadrater
• Basene er parallelle med hverandre
• Sideflatene er rektangler
• Sideflater er like med hverandre
• Sideflater er vinkelrett på basene
• Sideribbene er parallelle og like
• Vinkelrett snitt vinkelrett på alle sidekanter og parallelt med basene
• Hjørnene på den vinkelrette delen er rette
• Den diagonale delen av et vanlig firkantet prisme er et rektangel
• Vinkelrett (ortogonal seksjon) parallelt med basene

Formler for et vanlig firkantet prisme

Instruksjoner for å løse problemer

Riktig prisme- et prisme ved basen som det ligger en vanlig polygon på, og sidekantene er vinkelrett på grunnplanene. Det vil si at et vanlig firkantet prisme inneholder ved basen torget... (se egenskapene ovenfor til et vanlig firkantet prisme) Merk... Dette er en del av leksjonen med geometri problemer (seksjon stereometri - prisme). Her er oppgavene som forårsaker problemer med å løse. Hvis du trenger å løse et geometri -problem som ikke er her, kan du skrive om det i forumet. For å betegne handlingen med å trekke ut en kvadratrot i problemløsninger, symbolet√ .

En oppgave.

Diagonalet til et vanlig prisme danner en rettvinklet trekant med diagonal på basen og høyden på prismen. Følgelig, i henhold til Pythagoras teorem, vil diagonalen til et gitt vanlig firkantet prisme være lik:
√ ((12√2) 2 + 14 2) = 22 cm

Svar: 22 cm

En oppgave

Løsning.
Siden det er en firkant i bunnen av et vanlig firkantet prisme, blir siden av basen (betegnet som a) funnet av Pythagoras teorem:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Høyden på sideflaten (betegnet som h) vil da være lik:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5

Det totale overflatearealet vil være lik summen av det laterale overflatearealet og to ganger grunnarealet

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√ (175/4)
S = 25 + 4√ (7 * 25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Svar: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Gitt:
Skjæringspunktet mellom pyramide og prisme
Nødvendig:
Konstruer en skanning av et rett prisme og vis på det skjæringslinjen mellom prismen og pyramiden.

Å bygge en rett prisme fei er mye enklere enn å feie en pyramide.

Å bygge en prisme -fei

Konstruksjonen av et sveip av et rett prisme blir lettere av det faktum at alle dimensjoner for feiing er hentet fra diagrammene, og vi trenger ikke å finne de naturlige verdiene til prismenes kanter. Siden det er gitt et rett prisme, projiseres sidekantene av prismen på det fremre projiseringsplanet i full størrelse. Kantene på basene til det rette prismen er parallelle med horisontalplanet til fremspringene og projiseres også på det i full størrelse.

Algoritme for konstruksjon av et prisme -fei

• Vi tegner en horisontal linje.
• Fra et vilkårlig punkt G på denne rette linjen legger vi av segmentene GU, UE, EK, KG lik lengdene på sidene av prismen.
• Vinkler blir gjenopprettet fra punktene G, U, ... og verdier som er lik prismenes høyde legges på dem. De resulterende punktene er forbundet med en rett linje. Rektangel GG1G1G er et sveip av prismeets sideoverflate. For å indikere på feien av prismeflatene, blir vinkelretter restaurert fra punktene U, E, K.
• For å oppnå en full feiing av prismaets overflate, er polygoner av dens baser festet til overflaten.

For å bygge på feien skjæringslinjen for prismen med pyramiden av lukkede brutte linjer 1, 2, 3 og 4, 5, 6, 7, 8, bruker vi vertikale rette linjer.

Flere detaljer i videoopplæringen om beskrivende geometri i AutoCAD

Det er nødvendig å konstruere utfoldelse av fasetterte kropper og trekke på skanningen skjæringslinjen mellom prisme og pyramide.

For å løse dette problemet i beskrivende geometri, må du vite:

- informasjon om utfoldelse av overflater, konstruksjonsmetoder og spesielt konstruksjon av utfolding av fasetterte kropper;

-en-til-en-egenskaper mellom overflaten og dens utfoldelse og metoder for å overføre punkter som tilhører overflaten til utfoldelsen;

- metoder for å bestemme naturverdiene til geometriske bilder (linjer, fly, etc.).

Fremgangsmåte for å løse problemet

En fei kalles en flat figur som oppnås ved å kutte og unbøye overflaten til den er helt på linje med planet. Alle utbrettede overflater ( emner, mønstre) er kun konstruert ut fra naturverdier.

1. Siden feiene er konstruert ut fra naturverdier, går vi videre til deres bestemmelse, for hvilket et sporingspapir (grafpapir eller annet papir) i A3 -format overføres problem nr. Z med alle punkter og linjer i kryssene mellom polyederne.

2. For å bestemme naturverdiene til kantene og basisen av pyramiden bruker vi høyre trekantmetode... Selvfølgelig er andre mulige, men etter min mening er denne metoden mer forståelig for studenter. Essensen ligger i det faktum at "På den konstruerte rette vinkelen er projeksjonsverdien til et rettlinjesegment avsatt på det ene benet, og på det andre - forskjellen i koordinatene til endene på dette segmentet, hentet fra det konjugerte projiseringsplanet. Da gir hypotenusen til den oppnådde rette vinkelen den naturlige verdien av det gitte linjesegmentet ".

Figur 4.1

Figur 4.2

Figur 4.3

3. Så i ledig plass på tegningen (Figur 4.1.a) vi bygger en rett vinkel.

Langs den horisontale linjen i denne vinkelen utsetter vi projiseringsverdien til pyramidens ribbe DA tatt fra det horisontale projiseringsplanet - l DA... Langs den vertikale linjen i den rette vinkelen utsetter vi forskjellen i koordinatene til punktene D’ ogEN’ tatt fra frontplanet av fremspring (langs aksen z langt nede) - . Ved å koble de oppnådde punktene med en hypotenuse, får vi livstørrelsen til kantene på pyramiden | DA| .

Dermed bestemmer vi naturverdiene til de andre kantene av pyramiden DB og DC så vel som basen av pyramiden AB, BC, AC (Figur 4.2), som vi konstruerer den andre rette vinkelen for. Vær oppmerksom på at definisjonen av den naturlige størrelsen på kanten DC produsert i tilfeller der den får projeksjon på den originale tegningen. Dette er lett å bestemme hvis vi husker regelen: " hvis en rett linje på et hvilket som helst projiseringsplan er parallelt med koordinataksen, så projiseres det på det konjugerte planet i full størrelse ”.

Spesielt i eksemplet på vårt problem, frontprojeksjonen av kanten D’ C’ parallelt med aksen NS derfor i horisontalplanet DC umiddelbart uttrykt i naturlig størrelse | DC| (Figur 4.1).

Figur 4.4

4. Etter å ha bestemt de naturlige verdiene til kantene og basen av pyramiden, fortsetter vi med å konstruere en fei ( Figur 4.4). For å gjøre dette, ta et vilkårlig punkt på et papirstørrelse nærmere venstre side av rammen D med tanke på at dette er toppen av pyramiden. Vi trekker fra poenget D en vilkårlig rett linje og legg kantene i naturlig størrelse på den | DA| , får poeng MEN... Så fra poenget MEN, tar livsstørrelsen til pyramidens base på kompassløsningen R= | AB | og plassere benet på kompasset på punktet MEN lage et buehakk. Deretter tar vi pyramidens livsstilskanter på kompassløsningen R=| DB| og plassere benet på kompasset på punktet D lag et nytt buehakk. I skjæringspunktet mellom buer får vi et poeng I ved å koble den til prikkene Og D vi får pyramidens ansikt DAB... På samme måte fester vi til kanten DB kant DBC, og til kanten DC- kant DCMEN.

For eksempel til den ene siden av basen IC, vi fester også pyramidens base ved hjelp av metoden for geometriske seriffer, og tar dimensjonene på sidene til løsningen av kompasset MENBogENMED og gjøre buekutt fra punkter BogC får poeng EN(Figur 4.4).

5. Bygge en fei prisme er forenklet av det faktum at i den opprinnelige tegningen i horisontalplanet til fremspringene med basen, og i frontplanet med en høyde på 85 mm, er det sett umiddelbart i full størrelse

For å bygge en fei, kutt prismen mentalt langs en kant, for eksempel langs E Etter å ha fikset det på planet, vil vi brette ut de andre sidene av prismen til det er helt på linje med planet. Det er ganske åpenbart at vi får et rektangel hvis lengde er summen av lengden på sidene av basen, og høyden er høyden på prismen - 85 mm.

Så, for å bygge en prisme -skanning, gjør vi:

- på samme format som pyramideskanningen er bygget, på høyre side tegner vi en horisontal rett linje og fra et vilkårlig tatt punkt på den, for eksempel E, utsetter du segmentene i prismenes base suksessivt EK, KG, GU, UE, tatt fra det horisontale projiseringsplanet;

- fra poeng E, K, G, U, E vi gjenoppretter vinkelrettene, som vi setter til side høyden på prismen, tatt fra frontplanet til fremspringene (85 mm);

- ved å koble de oppnådde punktene med en rett linje, får vi et sveip av prismaets sideoverflate og til en av sidene av basen, for eksempel, GU vi fester den øvre og nedre basen ved hjelp av metoden for geometriske seriffer, som det ble gjort da vi bygde basen av pyramiden.

Figur 4.5

6. For å konstruere skjæringslinjen på feien, bruker vi regelen om at "ethvert punkt på overflaten tilsvarer et punkt på feien." Ta for eksempel ansiktet til et prisme GU hvor skjæringslinjen med punktene er 1-2-3 ; ... Sett til side på grunnfeien GU poeng 1,2,3 av avstander tatt fra det horisontale projiseringsplanet. La oss gjenopprette vinkelrettene fra disse punktene og plotte høyden på punktene på dem 1’ , 2’, 3’ tatt fra frontprojektionsplanet - z 1 , z 2 ogz 3 ... Dermed, på feien, fikk vi poeng 1, 2, 3, som vi får den første grenen av krysslinjen.

Alle andre punkter overføres på samme måte. De konstruerte punktene er koblet sammen og mottar den andre grenen av skjæringslinjen. Marker med rødt - ønsket linje. La oss legge til at hvis de fasetterte kroppene ikke krysser hverandre helt, vil det være en lukket gren av kryssingslinjen på prismen.

7. Konstruksjonen (overføringen) av krysslinjen på den utbrettede pyramiden utføres på samme måte, men med tanke på følgende:

- siden feiene er bygd ut fra naturverdier, er det nødvendig å overføre posisjonen til punktene 1-8 skjæringslinjer for fremspring på kantlinjen med naturlige størrelser på pyramiden. For å gjøre dette, ta for eksempel punktene 2 og 5 i frontprojeksjon av ribben DA vi overfører dem til projiseringsverdien til denne kanten av den rette vinkelen (Figur 4.1) langs kommunikasjonslinjer parallelt med aksen NS, får vi de nødvendige segmentene | D2| og |D5| ribbeina DA i naturlige mengder, som vi utsetter (overfører) til utfoldelsen av pyramiden;

- alle andre punkter på skjæringslinjen overføres på samme måte, inkludert punkter 6 og 8 ligger på generatorene Dm og Dn hvorfor i en rett vinkel (Figur 4.3) de naturlige verdiene til disse generatorene bestemmes, og deretter overføres punktene til dem 6 og 8;

- på den andre rette vinkelen, der de naturlige verdiene til pyramidens base bestemmes, overføres poeng mogn kryss mellom generatorer og basen, som deretter overføres til det flate mønsteret.

Dermed er poengene oppnådd på naturverdier 1-8 og overført til feien, kobler vi oss i serie med rette linjer og til slutt får vi kryssingslinjen mellom pyramiden på feien.