QS med feil og full gjensidig hjelp for massestrømmer. Graf, ligningssystem, beregnede forhold

Inntil nå har vi bare vurdert de QS-ene der hver forespørsel bare kan betjenes av en kanal; ledige kanaler kan ikke "hjelpe" personen som er opptatt med tjenesten.

Generelt er dette ikke alltid tilfelle: det er køsystemer der samme kunde kan betjenes samtidig av to eller flere kanaler. For eksempel kan en og samme ødelagte maskin betjenes av to arbeidere samtidig. Slik "gjensidig assistanse" mellom kanaler kan finne sted i både åpen og lukket QS.

Når du vurderer QS med gjensidig assistanse mellom kanaler, må to faktorer tas i betraktning:

1. Hvor rask er tjenesten til en forespørsel når ikke en, men flere kanaler jobber med den?

2. Hva er "selvhjelpsdisiplin", det vil si når og hvordan overtar flere kanaler tjenesten til den samme forespørselen?

La oss først vurdere det første spørsmålet. Det er naturlig å anta at hvis ikke en kanal, men flere kanaler, jobber med å betjene et krav, vil intensiteten av tjenestestrømmen ikke avta med økende k, dvs. det vil representere en viss ikke-avtagende funksjon av antall k arbeidskanaler. La oss betegne denne funksjonen. En mulig form for funksjonen er vist i fig. 5.11.

Det er åpenbart at en ubegrenset økning i antall samtidig opererende kanaler ikke alltid fører til en proporsjonal økning i servicehastigheten; det er mer naturlig å anta at for en viss kritisk verdi øker ikke en ytterligere økning i antall okkuperte kanaler tjenesteintensiteten lenger.

For å analysere arbeidet til QS med gjensidig assistanse mellom kanalene, må du først og fremst stille inn funksjonstypen

Det enkleste tilfellet for forskning vil være tilfelle når funksjonen øker i proporsjon til k at og at forblir konstant og lik (se fig. 5.12). Hvis det totale antallet kanaler som kan hjelpe hverandre på samme tid ikke overstiger

La oss nå dvele ved det andre spørsmålet: disiplinen av gjensidig hjelp. Det enkleste tilfellet med denne disiplinen, vil vi betegne betinget "alle som en". Dette betyr at når en forespørsel vises, begynner alle kanaler å servere den samtidig og forblir opptatt til tjenesten til denne forespørselen avsluttes. så bytter alle kanaler til å betjene et annet krav (hvis det er en) eller venter på at det skal vises hvis det ikke eksisterer, og så videre. Åpenbart, i dette tilfellet fungerer alle kanaler som en, QS blir enkeltkanal, men med høyere serviceintensitet.

Spørsmålet oppstår: er det lønnsomt eller ulønnsomt å innføre slik gjensidig hjelp mellom kanalene? Svaret på dette spørsmålet avhenger av hva intensiteten er i forespørselsflyten, hva er funksjonstypen, hva er typen QS (med avslag, med en kø), hvilken verdi som velges som et karakteristikk av serviceeffektivitet.

Eksempel 1. Det er en trekanals QS med avslag: strømningshastigheten på forespørsler (forespørsler per minutt), gjennomsnittlig tjenestetid for en forespørsel fra en kanal (min), funksjon Spørsmålet er om det er lønnsomt fra QS-gjennomstrømningens synspunkt å innføre gjensidig hjelp mellom kanaler av typen "alt som en" "? Er det gunstig fra synspunktet om å redusere gjennomsnittlig tid brukt av applikasjonen i systemet?

Løsning også. Uten gjensidig hjelp,

Ved Erlangs formler (se § 4) har vi:

Relativ gjennomstrømning av CMO;

Absolutt båndbredde:

Gjennomsnittlig oppholdstid for en søknad i QS kan bli funnet som sannsynligheten for at søknaden blir akseptert for service multiplisert med gjennomsnittlig servicetid:

Gsist (min).

Ikke glem at denne gjennomsnittlige tiden refererer til alle forespørsler - både servert og ikke servert. Vi kan være interessert i gjennomsnittlig tid som en servert forespørsel vil forbli i systemet. Denne tiden er lik:

6. Med gjensidig hjelp.

Gjennomsnittlig tid brukt av en applikasjon i CMO

Gjennomsnittlig oppholdstid for en betjent applikasjon i CMO:

Dermed, i nærvær av gjensidig bistand "alt som ett", har gjennomstrømningen av CMO betydelig redusert. Dette forklares med en økning i sannsynligheten for avslag: mens alle kanaler er opptatt med å betjene en forespørsel, kan andre forespørsler komme, og naturlig nok få avslag. Når det gjelder gjennomsnittlig oppholdstid for en søknad i CMO, ble den, som forventet, redusert. Hvis vi av en eller annen grunn prøver å redusere tiden applikasjonen tilbringer i CMO (for eksempel hvis det å bo i CMO er farlig for applikasjonen), kan det vise seg at det til tross for reduksjonen i båndbredde fortsatt vil være gunstig å kombinere de tre kanalene inn i ett.

La oss nå se på innvirkningen av gjensidig assistanse av typen "alt som ett" på CMOs arbeid med forventning. For enkelhets skyld, la oss ta bare tilfellet med en ubegrenset kø. Naturligvis vil det i dette tilfellet ikke være noen innflytelse av gjensidig hjelp på gjennomføringen av CMO, siden alle innkommende applikasjoner under noen omstendigheter vil bli servert. Spørsmålet oppstår om innflytelse av gjensidig assistanse på ventekarakteristikk: gjennomsnittlig kølengde, gjennomsnittlig ventetid, gjennomsnittlig tid brukt i HOS.

I kraft av formlene (6.13), (6.14) § 6 for service uten gjensidig assistanse, vil gjennomsnittlig antall kunder i køen være

gjennomsnittlig ventetid:

og gjennomsnittlig oppholdstid i systemet:

Hvis gjensidig hjelp av typen "alt som en" brukes, vil systemet fungere som et enkeltkanalsystem med parametere

og dens egenskaper bestemmes av formler (5.14), (5.15) § 5:

Eksempel 2. Det er en trekanals QS med ubegrenset kø; strømningshastighet på forespørsler (forespørsler per min.), gjennomsnittlig servicetid Funksjon Fordelaktig med tanke på:

Gjennomsnittlig kølengde,

Gjennomsnittlig ventetid for service,

Gjennomsnittlig oppholdstid for en søknad i CMO

å innføre gjensidig hjelp mellom kanaler som "alle som en"?

Løsning også. Uten gjensidig hjelp.

Ved formler (9.1) - (9.4) har vi

(3-2)

b. Med gjensidig hjelp

Ved formler (9.5) - (9.7) finner vi;

Dermed er den gjennomsnittlige lengden på køen og den gjennomsnittlige ventetiden i køen når det gjelder gjensidig hjelp større, men den gjennomsnittlige oppholdstiden for en søknad i systemet er mindre.

Fra eksemplene som er vurdert, er det klart at gjensidig bistand mellom til? "All as one" kontanteenheter, bidrar som regel ikke til en økning i effektiviteten av tjenesten: Tiden brukt av en forespørsel i QS avtar, men andre egenskaper ved tjenesten forverres.

Derfor er det ønskelig å endre tjenestedisiplinen slik at gjensidig assistanse mellom kanalene ikke forstyrrer å akseptere nye forespørsler om service hvis de vises i løpet av tiden da alle kanaler er opptatt.

La oss kalle betinget "lik gjensidig assistanse" for følgende type gjensidig hjelp. Hvis en forespørsel kommer på et tidspunkt hvor alle kanaler er gratis, aksepteres alle kanaler for å betjene den; hvis det i øyeblikket betjenes en forespørsel kommer en annen, bytter en del av kanalene til service; hvis, mens disse to kundene blir servert, kommer en annen, bytter en del av kanalene til servering osv., til alle kanaler er opptatt; I så fall avvises den nylig ankomne søknaden (i QS med avslag) eller blir i kø (i QS med venting).

Med en slik disiplin av gjensidig hjelp avvises en søknad eller blir i kø bare når det ikke er noen måte å betjene den på. Når det gjelder "nedetid" for kanaler, er det minimalt under disse forholdene: hvis det er minst en forespørsel i systemet, fungerer alle kanaler.

Vi nevnte ovenfor at når en ny forespørsel vises, blir noen av de travle kanalene frigitt og bytter til å betjene den nylig ankomne forespørselen. Hvilken del? Det avhenger av funksjonstypen Hvis den har form av et lineært forhold, som vist i fig. 5.12, og det spiller ingen rolle hvilken del av kanalene som skal tildeles for å betjene det nyankomne kravet, så lenge alle kanalene er opptatt (så vil den totale intensiteten av tjenester for fordeling av kanaler etter krav være lik). Det kan bevises at hvis kurven er konveks oppover, som vist i fig. 5.11, så må du distribuere kanaler for forespørsler så jevnt som mulig.

La oss se på driften av en -kanals QS med "ensartet" gjensidig assistanse mellom kanalene.

UDC 519.248: 656.71

MODELL FOR ET MASSETJENESTESYSTEM MED IKKE-STASJONALE STRØMMER OG DELVISE INTERAKSJONER MELLOM KANALER

© 2011 V. A. Romanenko

Samara State Aerospace University oppkalt etter akademiker S.P. Korolyov (National Research University)

En dynamisk modell av et flerkanals køsystem med ikke-stasjonære strømmer, som venter i en kø med begrenset lengde og delvis gjensidig hjelp av kanaler, uttrykt i muligheten for samtidig betjening av en forespørsel av to kanaler, er beskrevet. Uttrykk gis for systemets viktigste sannsynlighetstidsegenskaper. Resultatene av å modellere funksjonen til navflyplassen som et eksempel på det aktuelle systemet er beskrevet.

Køsystem, ikke-stasjonær flyt, gjensidig assistanse mellom kanaler, hub-flyplass.

Introduksjon

Vi vurderer et flerkanals køsystem (QS) med å vente i en kø med begrenset lengde. Et trekk ved QS under behandling er delvis gjensidig assistanse mellom kanalene, som kommer til uttrykk i muligheten for samtidig bruk av to kanaler for å betjene en forespørsel. Å kombinere kanalenes innsats fører generelt til en reduksjon i gjennomsnittlig tjenestetid. Det antas at QS mottar en ikke-stasjonær Poisson-strøm av krav. Varigheten av tjenesten for forespørselen avhenger av tidspunktet.

Et typisk eksempel på en CMO med de nevnte funksjonene er flyplasstransportsystemet. Den samtidige bruken av flere (som regel to) midler (innsjekkingsdisker, påfyllere av fly, spesialbiler osv.) For å betjene en flytur er forutsatt av de teknologiske rutene for flyservicering av store fly (AC). Samtidig fører behovet for å forbedre kvaliteten og redusere varigheten av bakkehåndteringstjenester, spesielt relevant for store flyplasser, til at andelen operasjoner som utføres ikke av en, men av flere (to) midler, alder

med en økning i flyplassens omfang. Modellen som er beskrevet i artikkelen ble utviklet for å løse problemene med å analysere og optimalisere funksjonen til industrielle komplekser av knutepunktflyplasser (knutepunkter), preget av metning av bakketransporttjenester med en utpreget ikke-stabilitet av strømmen av passasjerer, fly og last og svingninger i intensiteten av tjenesten.

Generell beskrivelse av modellen

Modellen er designet for å bestemme tidsavhengigheten av de sannsynlige egenskapene til QS som inneholder N-serveringskanaler. Antall søknader i CMO bør ikke overstige K, noe som kan skyldes tekniske begrensninger på antall flyparkeringsplasser ved flyplassen, kapasiteten til flyplassen eller lastekomplekset, etc. Antall kanaler som tildeles for å betjene en kunde kan være enten 1 eller 2. Hvis det er minst to gratis kanaler, opptar den innkommende kunden med en gitt sannsynlighet

en av dem og - med sannsynlighet у2 \u003d 1 - у1 - begge kanalene. Hvis QS på tidspunktet for mottak av forespørsel om service bare har en gratis kanal, vil denne forespørselen uansett oppta den tilgjengelige

den eneste kanalen. Hvis det ikke er ledige kanaler, "kommer det nylig ankomne kravet" inn i køen "og venter på service. Hvis antall applikasjoner i køen er К-N, etterlater den nylig ankomne applikasjonen QS ubetjent. Sannsynligheten for en slik hendelse bør være lav.

QS-inngangen mottar en Poisson (ikke nødvendigvis stasjonær) strøm av forespørsler

med intensitet l (t). Det antas at varigheten av betjeningen av kravet av både en Tobsl1 (t) kanal og to -

Tobsl 2 (t) er eksponentielt fordelte tilfeldige tidsfunksjoner (tilfeldige prosesser).

Servicetakst for forespørselen

en kanal ^ (t) og samtidig to kanaler m 2 (t) er definert som

mi (t) \u003d [Tobsl1 (t)] - 1, m2 (t) \u003d [Tobsl2 (t)] - 1,

hvor Tobsl1 (t) \u003d M [Tobsl1 (t)], Tobsl2 (t) \u003d M [Tobsl2 (t)]

Gjennomsnittlig servicetid for en forespørsel med henholdsvis en kanal og to kanaler.

Forholdet mellom størrelsene m1 (t) og m 2 (t) er gitt av forholdet

m2 (t) \u003d ^ т1 (t),

hvor 9 er en koeffisient som tar hensyn til den relative økningen i serviceintensitet ved bruk av to kanaler.

I praksis er forholdet mellom antall midler tiltrukket og intensiteten av tjenesten ganske komplisert, bestemt av funksjonene til den aktuelle tjenestedriften. For operasjoner hvor varigheten er relatert til arbeidsvolumet (for eksempel tanking av et fly med jetdrivstoff ved hjelp av jetdrivstoff, ombordstigning på et fly eller avstigning av passasjerer fra et fly osv.), Nærmer avhengigheten av serviceintensiteten seg til antall kanaler direkte proporsjonalt uten å være strengt tatt på grunn av tilstedeværelsen av tid brukt på forberedelsene

men endelige operasjoner, som ikke påvirkes av antall fond. For slike operasjoner i £ 2. For et antall operasjoner er avhengigheten av utførelsens varighet av antall midler eller utøvere mindre uttalt (for eksempel registrering eller pre-flight

inspeksjon av passasjerer). I dette tilfellet, i "1.

På et vilkårlig tidspunkt øyeblikk I kan QS under behandling være i en av b + 1 diskrete tilstander - B0, ...,

Bb. Overgangen fra stat til stat kan utføres når som helst. Sannsynligheten for at QS i øyeblikket vil være i staten

normaliseringsbetingelsen 2 p () \u003d 1

bestemmelsen av sannsynlighetene P0 (/), PX (t), ..., Pb (t) gjør det mulig å bestemme slike viktige virtuelle (øyeblikkelige) egenskaper for QS som gjennomsnittlig kølengde, gjennomsnittlig antall opptatt kanaler, gjennomsnittlig antall forespørsler i QS, og dr.

Sannsynlighetene for tilstandene p (t) er funnet ved å løse Kolmogorov-systemet med differensiallikninger, vanligvis skrevet som

\u003d Ё jp (t) P / (t) -P, (t) Z (t).,

r \u003d 0,1, ..., b,

hvor<р^ ^) - плотности (интенсивности) вероятностей перехода из состояния с порядковым номером г в состояние с порядковым номером ]. Величины фу (t) определяются по формуле

hvor P (/; At) er sannsynligheten for at QS, som for øyeblikket var t i tilstand B., for

tiden At går fra den til staten

For å komponere Kolmogorov-ligningene brukes en merket tilstandsgraf for QS. I den, over pilene som fører fra B. til B., settes de tilsvarende intensitetene ned. Derivatet av sannsynligheten for hver tilstand er definert som summen av alle sannsynlighetsstrømmer som går fra andre tilstander til en gitt tilstand, minus summen av alle sannsynlighetsstrømmer som går fra denne tilstanden til andre ...

For å komponere en graf introduseres et treindeksnoteringssystem der tilstanden til QS under behandling på et vilkårlig tidspunkt er preget av tre parametere: antall okkuperte kanaler n (n \u003d 0,1, ..., ^), antall forespørsler servert av k (k \u003d 0,1, ..., ^) og venter på service m (m \u003d 0,1, ..., ^ - N).

I fig. 1 viser en merket tilstandsgraf, samlet med reglene beskrevet ovenfor og de innførte betegnelsene, for QS valgt som et enkelt eksempel.

For å spare plass på grafen og i det tilsvarende systemet for Kolmogorov-ligninger gitt nedenfor, er betegnelsene for den funksjonelle avhengigheten av intensitet 1, m1 og m2 og sannsynligheten for tilstander i tide utelatt.

^ 000 / A \u003d - (^ 1 ^ + ^ 2 ^) P000 + tr10 + m2P210,

\u003d - (m + Y-11 + Y21) psh + ^ Yar000 +

2t1P220 + t2 P320,

LR210 IL \u003d - (m2 + ^ 11 + ^ 21) P210 + V2YAP000 +

T1P320 + 2 ^ 2P420,

LR220 / L \u003d - (2 ^ 1 + ^ 1 ^ + ^ 21) P220 + ^ 1Rio +

3 t1P330 + ^ 2P430,

LR32<:)1Л = - (т2 + т1 + ^11 + ^21)р320 +

+ ^ 11Р210 + V2ЯP110 + 2т 1Р430 +

LR4y1L (1 + 2 ^ 2) P420 + ^ 21P210 + t p30, LR330 / L \u003d - (3m1 + ^ 1 ^ + ^ 21) P330 + ^ 11P220 + + 4 ^ 1P440 + t2p40

^ 430 / A \u003d - (2 ^ 1 + ^ 2 + 1) P430 + ^ 11P320 +

+ ^ 2 ^ P220 + 3t 1p40 + 2 ^ 2p31,

LR530 / l \u003d - (t + 2m2 + i) p ^ 30 + 1P420 +

+ ^ 2NR320 + t1P531,

LR440 IL (4t1 + Y) p40 + P330 +

5 ^ 1p50 + t2p41,

LR540 / l \u003d - (m2 + 3t + i) p540 + yp430 +

+ "^ 2ЯР330 + 3 т1Р541 + 2 т2Р532,

LR531 / L \u003d - (^ 1 + 2 ^ 2 + R) R ^ 31 + RR530 +

LR550 IL \u003d - (5t1 + Y) R550 + YR440 +

5t1R551 + t2R542,

LR541 / l \u003d - (m2 + 3m + i) p ^ 41 + yp ^ 40 +

LR532 / l \u003d - (t1 + 2t2) P532 + i p531,

LR5511L \u003d - (5t1 + Y) p51 + YR550 + 5t1R552,

lr542 / l \u003d - (3 t + t2) p542 + i p541,

Lp5 ^ ^ \u003d 5 t1P552 + i p51.

Hvis det på tidspunktet t \u003d 0 ikke er noen applikasjoner i QS, vil de første betingelsene bli skrevet i skjemaet

P10 (0) \u003d P210 (0) \u003d P220 (0) \u003d ... \u003d P552 (0) \u003d 0.

Løsningen av systemer med stor dimensjon, lik (1), (2), med variable størrelser 1 (^, mO, m2 (0 er bare mulig ved numeriske metoder ved bruk av en datamaskin.

Figur: 1. Tilstandsgrafen til QS

Bygg QS-modellen

I samsvar med den algoritmiske tilnærmingen vil vi vurdere metoden for å transformere systemet for Kolmogorov-ligninger av vilkårlig dimensjon til et skjema som er egnet for datamaskinberegninger. For å forenkle notasjonen, bruker vi i stedet for det tredobbelte dobbeltsystemet for notering av tilstandene til QS, hvor r er antall kanaler okkupert med service pluss kølengden,] er antall forespørsler i QS. Forholdet mellom notasjonssystemer uttrykkes av avhengigheter:

r \u003d n + m, r \u003d 0,1, ..., K;

] \u003d k + t,] \u003d 0,1, ..., K.

Ikke noen stat fra det formelle settet kan implementeres

B. (r \u003d 0,1, ..., K;] \u003d 0,1, ..., K). Spesielt,

innenfor rammen av den beskrevne modellen er tilstander umulige der to eller flere forespørsler samtidig blir servert av en

kanal, dvs. P. (t) \u003d 0 hvis]\u003e r. La oss betegne settet med tillatte tilstander for QS med 8. B.s tilstand eksisterer, og

tilsvarende sannsynlighet P. ^)

kan være , hvis en av følgende betingelser er oppfylt:

1)] <г< 2], если 2] < N,

2)] <г< ] + Ч - 1 если \ .

y] + H - 1< К,

3)] < г < К, если ] + ч - 1 ^ К,

r \u003d 0,1, ..., K; ] \u003d 0,1, ..., K,

hvor H er det maksimale antall stater med et annet antall serveringskanaler for et gitt antall forespørsler, bestemt av formelen

Her angir parentes operasjonen med å forkaste den brøkdel. For eksempel,

å dømme etter tilstandsgrafen vist i fig. 1, kan to applikasjoner betjenes av to, tre eller fire kanaler. Derfor, i eksemplet ovenfor

H \u003d 5 - \u003d 5 - 2 \u003d 3.

For å implementere datamaskinberegninger ved hjelp av Kolmogorov-systemet med ligninger av vilkårlig dimensjon, må ligningene reduseres til en eller annen universell form som gjør det mulig å skrive en ligning. For å utvikle en slik form, vurder et fragment av tilstandsgrafen som viser en vilkårlig tilstand B] med ledelse fra den

piler med intensitet. La oss med romertall betegne nabolandene som er direkte relatert til B., som vist i fig. 2.

For hver tilstand B. (r \u003d 0,1, ..., K;] \u003d 0,1, ..., K), slik at B. e 8, på tidspunktet t mengdene

p ^), p (t), P. ^), p (t) ta

forskjellige verdier (inkludert null). Imidlertid, i dette tilfellet, ligningens struktur

(3) forblir uendret, noe som gjør det mulig å bruke den til datamaskinimplementering av systemet med Kolmogorov-ligninger med vilkårlig dimensjon.

Intensitetene φр (t), (р. (T), som har en tendens til å overføre QS til stater med store verdier på r og], hvis tilstedeværelsen av slike tilstander er mulig, bestemmes ut fra et antall forhold som følger:

o .. ї a eller

° (, - + 1) 0 "+1) ї 8"

0 (, - + 2) (. + 1) - 8 i £ N - 2,

o (i + 1) (. + 1) - 8 eller

° (. + 2) a + 1) ї 8

O (. + 1) (V + 1) - 8 '

Figur: 2. Fragment av QS-tilstandsgrafen

Tatt i betraktning tilstedeværelsen av stater nærliggende med hensyn til B., kan ligningen for B. skrives som følger:

- £ \u003d - [Р () + Р () + Р. () +

Pp (tJ Pg, (t) + Pp + 1) (. + 1) (t) P (r + 1) (. + 1) () +

P (H (1-1) ^) P (-1) (1-1) ^) +

P 2) () + 1) () P (r + 2) () - + 1) () +

RC2) (.- 1) (t) P (g-2) (.- G) ().

О (. + 1) (. + 1) ї 8 eller і\u003e N - 2

Y2X (i), hvis

I (i + 1) (. + 1) - 8\u003e

O (i + 2) (. + 1) - 8 'i £ N - 2,

O (i + 1) (. + 1) ї 8 ’

O (i + 2) (. + 1) - 8 '

r \u003d 0,1, ..., k ,. \u003d 0,1, ..., k.

Intensitet s. (), p..11 (), overføring av QS fra tilstanden B-. i stater

med mindre verdier av r og. (hvis tilstedeværelsen av slike tilstander er mulig) er direkte proporsjonal med antall kanaler involvert som betjener forskjellige typer krav i QS (okkuperer en eller to kanaler for service). En gruppe på to kanaler, som er opptatt med å betjene ett krav av tilsvarende type, kan betraktes som en kanal. Derfor, generelt sett

p () \u003d kdM1 (), P. () \u003d k2 ^ 2 (),

hvor k.1 er antall applikasjoner som okkuperer en kanal, betjent av QS i tilstand B; k er antall forespørsler, hver opptar to kanaler, servert av QS i tilstand B.

Gjennom g og. disse mengdene bestemmes som følger:

G2. - r hvis r< N,

y1 [N - 2 (r -.), hvis r\u003e N, (4)

til! 2 \u003d r -. ...

Tatt i betraktning begrensningene for muligheten for eksistens av uttrykkstilstander

р (), P. () har skjemaet

^ B (r-1) (L) e 8,

Indikatorer for effektiviteten til funksjonen til QS

Den beskrevne modellen gjør det mulig å bestemme tidsavhengigheten til følgende indikatorer for effektiviteten av funksjonen til den vurderte QS.

Gjennomsnittlig kølengde:

vi kan () \u003d 22 (r-n) P ().

Gjennomsnittlig antall opptatt kanaler:

Gjennomsnittlig antall applikasjoner i CMO:

m, () \u003d 22 .Р. ().

Sannsynlighet for tjenestenekt:

P „, () \u003d 2 P- ().

Fordelingen av den virtuelle ventetiden på forespørsel kan fås

tjeneste Ж (x, t) \u003d Р ^ ex ()< х) , позволяющее характеризовать качество обслуживания рассматриваемой СМО. Поступившая в систему заявка вынуждена ожидать обслуживания в случае, если все каналы заняты обслуживанием заявок, поступивших

tidligere. Det er en sannsynlighet Pk \u003d 0 (t) for umiddelbar betjening av et innkommende krav i nærvær av en gratis kanal (eller flere gratis kanaler)

B (g-1) (.- 1) £ 8,

r \u003d 0,1, ..., K ,. \u003d 0,1, ..., K.

P. () ° 0 hvis B. £ 8.

Tatt i betraktning muligheten for avslag, defineres ønsket verdi av fordelingsfunksjonen W (x ^) som

W (x - ‘) \u003d (- o (t)

EEZ M (,)) ()

Ru () ° 0 hvis ° y. ї 8.

Her er Ж (х, т | (i ,. /)) den betingede funksjonen

fordelingen av ventetiden til en bestemt forespørsel, forutsatt at den i øyeblikket av ankomst T fant QS i tilstand y.

I den vurderte QS avhenger varigheten av å vente på service av en innkommende kunde ikke bare av antall kunder som allerede er i QS, men også av fordelingen av kanaler mellom gruppe- og individuell betjening av eksisterende kunder. Hvis det ikke var gjensidig assistanse mellom kanalene, ville QS under behandling være en tradisjonell QS med venting i en kø med begrenset lengde, som den totale ventetiden for servicestart av en kunde som fant andre kunder i køen på ankomsttidspunktet til m ville ha Erlang-distribusjonen E, ^) (x).

Her inneholder overskrift frekvensen av servicekrav fra alle N-kanaler som opererer i nærvær av en kø; abonnement - fordelingsrekkefølge i henhold til Erlangs lov. I QS som vurderes her, er den beskrevne loven bare gyldig for applikasjoner som kom inn i QS i stater når alle kanaler er opptatt, og alle tjener en kunde om gangen. For disse statene kan du skrive

Ж (x, m | ^ + m, N + m)) \u003d ^ + 1 () (x).

La oss betegne med E ^ "^ 1 (x) fordelingsfunksjonen til den generaliserte Erlan-loven

ha, med ordren 2 «r - 1, hvor a

lo tilfeldige variabler fordelt over

eksponentiell lov med parameteren yi. FRA

ved hjelp av den introduserte notasjonen skriver vi uttrykk for fordelingsfunksjonen til ventetiden i andre stater. Sammenlignet med (5) har disse uttrykkene en mer kompleks form, som ikke forstyrrer programvareimplementeringen. Videre, som et eksempel, er de bare gitt for de tre første tilstandene med full kanalbelegg ved hjelp av den tidligere introduserte indekseringen med tre tegn:

W (x, m | (n, k, m)) \u003d W (x, m | (N, N - g, 0)) \u003d

\u003d (x), 0 £ g £ d,

hvor og. \u003d kіLt (t) + ku 2M2 (t);

W (x, t | (n, k, t)) \u003d W (x, t | (N, N - g, l)) \u003d

H ^ ^ - g) Km (T)

Ж (x, t | - g, 2))

H ^). (N - g) Km (t)

E / ^ (m), (m-g) ■ i (m), (m-g + l)

(N), (N - g) ktM (T)

EI -) (t-g) (x) +

^). (N - g) eH ^) (x)

Gjennomsnittlig virtuell ventetid for forespørselen Ide () bestemmes numerisk som

Identitet (T) \u003d | ^ W (x, T).

Fordelingen av den virtuelle servicetiden til et vilkårlig valgt krav (Tobsl ^) kan også bestemmes.

Siden endringen i Tobsl (t) i den betraktede QS er en tilfeldig prosess, som er en blanding av to eksponensielt fordelte tilfeldige prosesser TobsL1 ^) og TobsL2 ^), så fordelingen

V (x ^) \u003d P (Tobsl (t)< х) не будет показательным. С учётом возможности отказа выражение для функции распределения V (х^) запишется в виде

EEU M k, .IR (t)

P .. ^) ° 0 hvis 8. £ 8.

Her V (x ^ | (r ,.)) Er den betingede fordelingsfunksjonen for betjeningstiden til et bestemt krav, forutsatt at den i øyeblikket av ankomsten fant QS i staten ..

Hvis QS i øyeblikket av begynnelsen av betjeningen av et krav er i en tilstand der både gruppe- og individuell service er mulig, er betjeningstiden en blanding av to

overgang til gruppetjeneste - hvis staten er mulig (fig. 2). Dermed har vi:

Y (M (i - / ")) \u003d

y (1 - e-m (t) x) + + y (1 - e ^ 2 (m) x),

I О (і + 2) (] + 1) ї 8, О (і + 1) (. + 1) - 8,

"2 \\ * ^ І’ I ^ +2) (. + 1)

i \u003d 0,1, ..., N -1, i \u003d 0,1, ..., N -1.

Siden i mangel av to gratis kanaler, betjenes ethvert krav av en kanal, så vil den faktiske sannsynligheten ^) for å tildele en kanal være

det er større enn den gitte V-funksjonen uf ^) er definert som

Eee O "," p (t)

R. (t) ° 0 hvis J. ї 8.

Her er у1 (г,. Sannsynligheten for å tildele ett apparat for å betjene forespørselen mottatt av QS i staten:

O (i + 1) (. + 1) - 8, O (i

2)(}+1) -2)(!+1)

posisjoner: Tobsl1 (t) og Tobsl2 (t), løp - i \u003d 0,1 ..., K -1 ,. \u003d 0,1 ..., K -1.

eksponentielt begrenset med henholdsvis parametere ^ 1 (t) og ^ 2 (t). Hvis i

i dette øyeblikket er det ingen mulighet for å tildele to kanaler, og deretter distribueres servicetiden til forespørselen eksponentielt med parameteren

t (t). Når en forespørsel nærmer seg betjeningskanalene i tilstand B., er overgangen til individuell tjeneste tillatt

tilstedeværelsen av muligheten for staten jeg (

Gjennomsnittlig varighet av tjenesten for en forespørsel som ble inngått i QS for øyeblikket

T, kan defineres gjennom UV (T) som

Tbl (t) \u003d uf (t) Tm (t) + Tbs 2 (t).

Distribusjon av den virtuelle tiden brukt av forespørselen i QS

u (x, t) \u003d P (Tpreb (t)< х)

bestemmes ved hjelp av tidligere oppnådde u (x ^ | (n, k, m)) \u003d u (x ^ \\ (NN - t, 1)) tidligere uttrykk for fordelingsfunksjonene til ventetiden og tjenestetiden - \u003d

vaniya som OG,

2 ^ 2 (t) Em ^^ (t) ^^) (x) +

EE og M)) pї (t)

u (x, t | (^.)) \u003d

1 - e-M1 (t) x

y (1 - e-t (t) x) - + y2 (1 - e

(1 - e ^ m (t) x),

O (i + 1) (. + 1) - 8, O (i + 2) (. + 1) ї 8

O (i + 1) (. + 1) - 8 'O (i + 2) (. + 1) - 8,

r \u003d 0,1, ... ^ - 1 ,. \u003d 0'l '...' N-1.

For andre tilstander er formler for den betingede fordelingsfunksjonen skrevet analogt med formlene for

Ж (x ^ | (n, k, m)) ved hjelp av indeksering med tre tegn. Nedenfor er de gitt for de tre første statene med full kanalbesetning:

Når forespørselen kommer inn, er det ingen kø, men alle kanaler er opptatt:

u (x ^ | (n, k, m)) \u003d u (x ^ | (NN - g, 0)) \u003d

(x), 0 £ g £ d;

Når applikasjonen går inn, er det ett program i køen:

R. (t) ° 0 hvis J. ї 8.

Her u (x ^ | (r ,.)) Er den betingede fordelingsfunksjonen til tiden brukt i QS for noen krav, forutsatt at den i øyeblikket av ankomsten fant systemet i staten ..

For stater med gratis kanaler faller oppholdstiden i QS sammen med tjenestetiden:

Når søknaden kommer inn, er det to applikasjoner i køen:

u (x, m | (m, m -\u003e 2))

(t) (t ^) H (t) (t ^ + 1)

(t) (t - g) ktsM (t)

(t) (t - g) KtsM (t)

Gjennomsnittlig virtuell tid brukt av et program i QS er definert som

Treb ^) \u003d Tobsl (t) + Identitet (t).

Et eksempel på bruk av CMO-modellen

Driften av produksjonskomplekset til en av de østeuropeiske regionale knutepunktflyplassene på dagtid simuleres når det utføres en egen teknologisk operasjon for å betjene ankommende fly. Som de første dataene for modellering, er tidsavhengighet av den gjennomsnittlige intensiteten til flystrømmen som ankommer

service, i (t) og intensitet

betjene flyet med ett anlegg т1 (t).

Som følger av de bygde dataene

avhengighet av flyplasssted graf i (t)

(Fig. 3 a), er ankomst av fly preget av betydelig ujevnhet: i løpet av dagen observeres fire intensitetsmaxima, tilsvarende fire

oss »ankomst-avreise flyreiser. Toppverdiene 1 (t) for de viktigste “bølgene” når 25-30 VS / t.

I fig. 3 samt en graf over avhengigheten t (t). Det antas at ikke

bare intensiteten til flystrømmen, men også intensiteten til deres service er en funksjon av tiden og avhenger av fasen av "bølgen". Faktum er at for å redusere den gjennomsnittlige tiden for overføring av passasjerer, er ruteplanen for knutepunktflyplassen bygget på en slik måte at "bølgen" initieres av ankomster av fly med stor passasjerkapasitet, og vedlikeholdet av dette er tidkrevende, og ankomster av småfly er fullført. I eksemplet antas det at den gjennomsnittlige varigheten av operasjonen av et middel, som er 20 minutter for det meste av dagen, i begynnelsen av "bølgen" øker til 25 minutter. og reduseres i sluttfasen til 15 minutter. Dermed fire intervaller med

redusert nivå t (t) i fig. 3а tilsvarer de innledende fasene av "bølger" når ankomster av store fly råder. I sin tur øker fire intervaller

nivå m ^) faller på finalen

faser av "bølger" med overvekt av små fly.

Simuleringsresultatene er beskrevet nedenfor for å vurdere effektiviteten til systemet. I fig. Figur 3b-3d viser tidsavhengighet av gjennomsnittsverdiene for antall okkuperte kanaler N3 (d),

det totale antallet applikasjoner i MZ-systemet ^) og

kølengde MW (7), oppnådd for to begrensningsverdier for sannsynligheten n1 \u003d 0 og n1 \u003d 1 med følgende beregnede egenskaper: N \u003d 10; K \u003d 40; h \u003d 1,75. Bedømme etter grafen for avhengighet Ns (t)

(Fig. 3b), i løpet av det meste av det daglige tidsintervallet, forblir belegget av tjenestekanalene i systemet lavt, noe som er en konsekvens av ikke-stasjonæriteten til inngangen

den flytende flystrømmen. En høy belastning (60-80%) oppnås bare under den andre "bølgen" av ankomster og avganger, og alternativet n1 \u003d 0 ved store verdier på 1 (t) forårsaker større belastning på systemet, og ved små verdier på 1 (t) - mindre

sammenlignet med alternativet n1 \u003d 1. Videre, som

modellering viste at sannsynligheten for svikt i systemet som er vurdert for begge alternativene er ubetydelig.

Sammenligning av avhengighetsgrafer

МЗ ^) og Moz ^) (henholdsvis fig. 3c og 3d) tillater oss å konkludere med at i QS for n1 \u003d 0 er det i gjennomsnitt færre krav, og det er flere krav som skal betjenes enn for n1 \u003d 1. Denne motsetningen forklares med det faktum at at hvert krav mottatt av QS, okkuperer, i tilfelle n1 \u003d 0, to

kanal, etterlater færre gratis kanaler for følgende kunder, og tvinger dem til å opprette en større kø enn i tilfelle

n1 \u003d 1. Samtidig forårsaker gruppebruken av kanaler, ved å redusere servicetiden, en reduksjon i det totale antallet servicebehov og ventende servicekrav. Så i eksemplet under vurdering, gjennomsnittlig servicetid på dagtid

for alternativ n1 \u003d 1 er 20 minutter, og for

alternativ n1 \u003d 0 - 11,7 min.

Modellen vurdert ovenfor gjør det mulig å løse problemer knyttet til søket etter optimal styring av kvaliteten på transporttjenester. I fig. 3d, 3f viser noen resultater for å løse denne typen problemer, hvis betydning er forklart nærmere på eksemplet med den aktuelle flyplassen.

En liten gjennomsnittlig kølengde selv under toppbelastninger, som ikke overstiger 0,6 fly i det vurderte eksemplet (fig. 3d), garanterer ikke at ventetiden i køen vil være akseptabel for de aller fleste fly. Lav gjennomsnittlig ventetid med tilfredsstillende gjennomsnittstid for å fullføre tjenesten

det utelukker heller ikke muligheten for uakseptabelt lang nedetid for service på enkeltfly. La oss se på et eksempel når det stilles krav til flyplasstjenestens kvalitet både når det gjelder å sikre tilfredsstillende ventetider og når det gjelder tid i systemet. Vi vil anta at mer enn 90% av flyene skal være inaktive for service mindre enn 40 minutter, og ventetiden for service for den samme andelen av fly skal være mindre enn 5 minutter. Ved å bruke betegnelsene som er introdusert ovenfor, vil disse kravene til kvaliteten på flyplasstjenester være skrevet i form av ulikheter:

P (Tpreb (t)< 40мин)> 09, P (Identitet (t)< 5мин)> 09

I fig. 3d, 3f viser tidsavhengigheten til sannsynlighetene P (Treb (/)< 40мин)

og P (Ident. (")< 5 мин) для интервала времени

460-640 minutter fra begynnelsen av modelldagen som tilsvarer den andre “bølgen” av ankomster.

Som det kan sees av figurene, gjør ikke alternativet n1 \u003d 1 det

gir den beregnede påliteligheten når det gjelder tjenestetid: kravet om tjenestetid spesifisert av tilstanden

P (Tpreb (t)< 40мин)> 09, utføres bare i et kort intervall på 530560 minutter, tilsvarende ankomster av små

Sol. I sin tur gir ikke alternativet n1 \u003d 0 den beregnede påliteligheten når det gjelder ventetid i køen: i intervallet for ankomst av store fly (500-510 min.)

Figur: 3. Simuleringsresultater 262

tilstanden P (Identitet (m)< 5мин) > 0.9.

Modellering har vist at en vei ut av denne situasjonen kan være et valg

kompromissalternativ у1 "0.2. I praksis betyr dette alternativet at flyplasstjenester skal tildele to midler til å betjene ikke alle fly, men bare de som er valgt i henhold til et bestemt kriterium, for eksempel

passasjerkapasitet. Her spiller y1 en rolle

en parameter som lar deg kontrollere ytelsesindikatorene til QS: ventetiden til forespørselen i køen og tiden forespørselen er i QS eller servicetiden.

Så det vurderte systemet, som bruker en eller to kanaler samtidig for å betjene et krav, er et spesielt, men praktisk viktig tilfelle av en QS med

gjensidig hjelp kanaler. Bruken av en dynamisk modell av en slik QS gjør det mulig å sette og løse ulike optimaliseringer, inkludert multikriterier, problemer knyttet til forvaltning av ikke bare det totale antallet fond, men også deres gjensidige bistand. Problemer av denne typen er spesielt relevante for servicerike flyplasser med ikke-stasjonære flystrømmer og svingende serviceintensitet. Dermed er modellen til den ansettede CMO et verktøy for å analysere og optimalisere parametrene til en så lovende klasse flyplasser som knutepunkter.

Bibliografisk liste

1. Bocharov, P.P. Køteori [Tekst] / P.P. Bocharov, A.V. Pe-chinkin. - M.: Forlag til RUDN, 1995. - 529 s.

MODELL FOR ET KØSYSTEM MED IKKE-STASJONÆRE STRØMMER OG PARTIELL GJENNOMSYNDHJELP MELLOM KANALER

© 2011 V. A. Romanenko

Samara State Aerospace University oppkalt etter akademiker S. P. Korolyov (National Research University)

En dynamisk modell av flerkanals køsystem med ikke-stasjonære strømmer, som venter i en kø med begrenset lengde og delvis gjensidig hjelp av kanaler, uttrykt i muligheten for samtidig service av en kunde av to kanaler, er beskrevet. Uttrykk for de grunnleggende sannsynlighetstidsegenskapene til systemet er gitt. Resultatene av modellering av funksjonen til en hubflyplass som et eksempel på det diskuterte systemet er beskrevet.

Køsystem, ikke-stasjonær flyt, gjensidig assistanse mellom kanaler, hub-flyplass.

Informasjon om forfatteren Vladimir Alekseevich Romanenko, kandidat for tekniske vitenskaper, førsteamanuensis, doktorgradskandidat ved Institutt for organisasjon og ledelse av transport i transport, Samara State Aerospace University oppkalt etter akademiker SP Korolev (National Research University). E-post: [e-postbeskyttet] Forskningsinteresser: optimalisering og modellering av transportservicesystemet på knutepunktflyplassen.

Romanenko Vladimir Alexeevitch, kandidat for teknisk vitenskap, førsteamanuensis, doktorgrad ved institutt for transportorganisasjon og ledelse, Samara State Aerospace University oppkalt etter akademiker S. P Korolyov (National Research University). E-post: [e-postbeskyttet] .ru. Forskningsområde: optimalisering og simulering av et hub-transportservicesystem.

Vurder et flerkanals køsystem (alle kanaler n), som mottar krav med intensitet λ og blir betjent med intensitet μ. En applikasjon som ankommer systemet blir servert hvis minst en kanal er gratis. Hvis alle kanaler er opptatt, avvises neste forespørsel som kommer inn i systemet og forlater QS. La oss nummerere tilstandene til systemet etter antall okkuperte kanaler:

• S 0 - alle kanaler er gratis;
• S 1 - en kanal er opptatt;
• S 2 - to kanaler er opptatt;
• S k - travelt k kanaler;
• S n - alle kanaler er opptatt.

Figur: 7.24
Figur 6.24 viser en graf med tilstander der S Jeg - kanalnummer; λ er intensiteten av ankomsten av forespørsler; μ - henholdsvis intensiteten i serviceforespørsler. Forespørsler går inn i køsystemet med konstant intensitet og opptar gradvis den ene kanalen etter den andre; Når alle kanaler er opptatt, vil neste søknad som kommer til CMO avvises og forlate systemet.
La oss bestemme intensiteten av strømningene av hendelser som overfører systemet fra tilstand til tilstand når vi beveger oss både fra venstre til høyre og fra høyre til venstre langs tilstandsgrafen.
La for eksempel systemet være i tilstand S 1, dvs. at en kanal er opptatt, siden det er en forespørsel ved inngangen. Så snart tjenesten er over, vil systemet komme inn i tilstanden S 0 .
For eksempel, hvis to kanaler er opptatt, overfører tjenestestrømmen systemet fra staten S 2 i tilstand S 1 vil være dobbelt så intens: 2-μ; følgelig hvis det er opptatt k kanaler, er intensiteten lik k-μ.

Vedlikeholdsprosessen er prosessen med død og reproduksjon. Kolmogorovs ligninger for denne spesielle saken vil ha følgende form:

(7.25)
Ligninger (7.25) kalles erlang ligninger .
For å finne verdiene av sannsynlighetene til statene R 0 , R 1 , …, R n, er det nødvendig å bestemme de opprinnelige forholdene:
– R 0 (0) \u003d 1, dvs. det er en forespørsel ved systeminngangen;
– R 1 (0) = R 2 (0) = … = R n(0) \u003d 0, dvs. i det første øyeblikket er systemet gratis.
Ved å integrere systemet med differensiallikninger (7.25) får vi verdiene til tilstandssannsynlighetene R 0 (t), R 1 (t), … R n(t).
Men vi er mye mer interessert i de begrensende sannsynlighetene til stater. Som t → ∞ og i henhold til formelen oppnådd når vi vurderer prosessen med død og reproduksjon, får vi en løsning på ligningssystemet (7.25):

(7.26)
I disse formlene er intensitetsforholdet λ / μ til applikasjonsflyten er det praktisk å betegne ρ Denne mengden kalles den reduserte strømmen av applikasjoner, det vil si det gjennomsnittlige antall krav som ankommer QS i løpet av den gjennomsnittlige servicetiden for ett krav.

Tatt i betraktning de benevnte betegnelsene, tar ligningssystemet (7.26) følgende form:

(7.27)
Disse formlene for å beregne de begrensende sannsynlighetene kalles erlang-formler .
Når vi kjenner alle sannsynlighetene for tilstandene til QS, finner vi egenskapene til effektiviteten til QS, dvs. den absolutte gjennomstrømningen OG, relativ gjennomstrømning Spørsmål og sannsynligheten for svikt R åpen
En søknad mottatt av systemet vil bli avvist hvis den finner alle kanaler opptatt:

.
Sannsynligheten for at søknaden blir akseptert for forkynnelse:

Spørsmål = 1 – R åpen,
hvor Spørsmål Er den gjennomsnittlige andelen av mottatte søknader som serveres av systemet, eller gjennomsnittlig antall søknader som serveres av QS per tidsenhet, referert til det gjennomsnittlige antall søknader mottatt i løpet av denne tiden:

A \u003d λ Q \u003d λ (1-P åpen)
I tillegg er en av de viktigste egenskapene til en QS med feil gjennomsnittlig antall travle kanaler... I n-kanal QS med avslag, dette tallet sammenfaller med gjennomsnittlig antall applikasjoner i QS.
Gjennomsnittlig antall forespørsler k kan beregnes direkte gjennom sannsynlighetene for tilstandene Р 0, Р 1, ..., Р n:

,
dvs. vi finner den matematiske forventningen til en diskret tilfeldig variabel, som tar en verdi fra 0 til n med sannsynligheter R 0 , R 1 , …, R n.
Det er enda lettere å uttrykke verdien av k når det gjelder absolutt gjennomstrømning av QS, dvs. A. Verdi A er gjennomsnittlig antall forespørsler som serveres av systemet per tidsenhet. Én opptatt kanal serverer μ krav per tidsenhet, og deretter er gjennomsnittlig antall opptatt kanaler

Hvis tjenesten utføres trinnvis av en bestemt sekvens av kanaler, kalles en slik QS flerfase.

I CMO med "gjensidig assistanse" mellom kanalene kan samme krav serveres samtidig av to eller flere kanaler. For eksempel kan en og samme mislykket maskin betjenes av to arbeidere samtidig. Slik "gjensidig assistanse" mellom kanaler kan finne sted i både åpen og lukket QS.

I QS med feil et krav som er akseptert for tjeneste i systemet, serveres ikke med full sannsynlighet, men med en viss sannsynlighet; med andre ord, det kan være feil i service, og resultatet er at noen applikasjoner som gikk til QS og angivelig "servert" faktisk forblir ubetjente på grunn av en "mangel" i QS-arbeidet.

Eksempler på slike systemer inkluderer: informasjonsbyråer som noen ganger gir feil informasjon og instruksjoner; en korrekturleser som kan savne en feil eller rette den feil; telefonsentral, noen ganger kobler abonnenten til feil nummer; handels- og formidlingsfirmaer som ikke alltid oppfyller sine forpliktelser med høy kvalitet og i tide osv.

For å analysere prosessen i QS, er det viktig å vite grunnleggende systemparametere: antall kanaler, intensiteten til strømmen av forespørsler, ytelsen til hver kanal (gjennomsnittlig antall forespørsler servert per enhet per tid av kanalen), forholdene for dannelse av en kø, hastigheten på avgang for forespørsler fra køen eller systemet.

Holdningen kalles systembelastningsfaktor... Ofte vurderes bare systemer der.

Servicetiden i QS kan være enten tilfeldig eller ikke-tilfeldig. I praksis antas denne tiden oftest å være distribuert i henhold til den eksponentielle loven.

Hovedegenskapene til QS avhenger relativt lite av formen på distribusjonsloven for tjenestetiden, men avhenger hovedsakelig av gjennomsnittsverdien. Derfor brukes ofte antagelsen om at tjenestetiden fordeles i henhold til en eksponentiell lov.

Antagelsene om Poisson-naturen til strømmen av krav og den eksponensielle fordelingen av tjenestetiden (som vi vil anta fra nå av) er verdifulle ved at de tillater oss å anvende apparatet til såkalte Markov-tilfeldige prosesser i køteorien.

Effektiviteten til servicesystemene, avhengig av forholdene til oppgavene og målene for studien, kan preges av et stort antall forskjellige kvantitative indikatorer.

De mest brukte er følgende indikatorer:

1. Sannsynligheten for at kanalene er opptatt med service.

Et spesielt tilfelle er sannsynligheten for at alle kanaler er gratis.

2. Sannsynlighet for nektelse av tjenesteanmodning.

3. Gjennomsnittlig antall travle kanaler karakteriserer graden av systemutnyttelse.

4. Gjennomsnittlig antall kanaler uten tjeneste:

5. Koeffisient (sannsynlighet) for nedetid for kanaler.

6. Utstyrsfaktor (sannsynlighet for kanalbelegg)

7. Relativ gjennomstrømning - gjennomsnittlig andel av mottatte søknader som serveres av systemet, dvs. forholdet mellom gjennomsnittlig antall skader som systemet betjener per tidsenhet og gjennomsnittlig antall skader som ankommer i løpet av denne tiden.

8. Absolutt båndbredde, i. E. antall forespørsler (forespørsler) som systemet kan tjene per tidsenhet:

9. Gjennomsnittlig nedetid på kanalen

For systemer med forventning bruk ekstra egenskaper:

10. Gjennomsnittlig ventetid for forespørsler i køen.

11. Gjennomsnittlig tid brukt av en applikasjon i CMO.

12. Gjennomsnittlig kølengde.

13. Gjennomsnittlig antall applikasjoner i tjenestesektoren (i QS)

14. Sannsynligheten for at tiden en applikasjon står i køen ikke varer mer enn en viss tid.

15. Sannsynligheten for at antall kunder i køen som venter på start av tjenesten er større enn et visst antall.

I tillegg til de oppførte kriteriene, når man vurderer effektiviteten til systemer, kostnadsindikatorer:

- kostnadene ved å betjene hvert krav i systemet;

- kostnadene for tap knyttet til venting per tidsenhet;

- kostnadene for tap knyttet til bortfall av krav fra systemet;

- kostnaden for å betjene systemkanalen per tidsenhet;

Er kostnaden per enhet nedetid for kanalen.

Når du velger de optimale parametrene til systemet når det gjelder økonomiske indikatorer, kan du bruke følgende tapskostnadsfunksjon:

a) for systemer med ubegrenset ventetid

Hvor er tidsintervallet;

b) for systemer med feil

c) for blandede systemer.

Alternativene som gir konstruksjon (igangkjøring) av nye systemelementer (for eksempel servicekanaler) sammenlignes vanligvis når det gjelder reduserte kostnader.

De reduserte kostnadene for hver opsjon er summen av løpende kostnader (primalkostnad) og kapitalinvesteringer, redusert til samme dimensjon i samsvar med effektivitetsstandarden, for eksempel:

(reduserte kostnader per år);

(reduserte kostnader for tilbakebetalingsperioden),

hvor - løpende kostnader (kostnad) for hvert alternativ, s.

- industristandard koeffisient for økonomisk effektivitet av kapitalinvesteringer (vanligvis \u003d 0,15 - 0,25);

- kapitalinvesteringer for hver opsjon, s.

- standard tilbakebetalingsperiode for kapitalinvesteringer, år.

Uttrykket er summen av nåværende og kapitalkostnader for en viss periode. De kalles gitt, siden de refererer til en fast tidsperiode (i dette tilfellet til standard tilbakebetalingsperiode).

Indikatorer og kan brukes både i form av summen av kapitalinvesteringer og kostnadene for ferdige produkter, og i formen spesifikke kapitalinvesteringer per produksjonsenhet og enhetskostnad.

For å beskrive en tilfeldig prosess som forekommer i et system med diskrete tilstander, blir sannsynlighetene for stater ofte brukt, hvor er sannsynligheten for at for øyeblikket systemet vil være i en tilstand.

Det er åpenbart at.

Hvis prosessen foregår i et system med diskrete tilstander og kontinuerlig tid er markov, så for sannsynlighetene for stater er det mulig å komponere et system med lineære Kolmogorov-differensialligninger.

Hvis det er en merket graf med tilstander (fig. 4.3) (her over hver pil som fører fra tilstand til tilstand, legges intensiteten av strømmen av hendelser ned, som overfører systemet fra tilstand til tilstand langs denne pilen), så kan systemet med differensiallikninger for sannsynlighetene skrives umiddelbart ved å bruke enkel regel.

På venstre side av hver ligning er det et derivat, og på høyre side er det like mange begreper som det er piler knyttet direkte til en gitt tilstand; hvis pilen fører i

Hvis alle strømmer av hendelser som overfører systemet fra stat til stat er stasjonære, er det totale antallet stater endelig og det er ingen stater uten utgang, da eksisterer det begrensende regimet og er preget av begrensende sannsynlighet .

System av ligninger

QS med feil for et tilfeldig antall servicestrømmer vektormodell for Poisson-strømmer. Graf, ligningssystem.

Vi representerer QS i form av en vektor, hvor k m - antall forespørsler i systemet, som hver serveres m instrumenter; L= q maks - q min +1 er antall inngangsstrømmer.

Hvis et krav godtas for tjeneste og systemet går i en tilstand med intensitet λ m.

Etter fullføring av service på et av kravene, vil systemet gå inn i en tilstand der den tilsvarende koordinaten har en verdi en mindre enn i tilstanden \u003d, dvs. omvendt overgang vil skje.

Et eksempel på en QS-vektormodell for n = 3, L = 3, q min \u003d 1, q maks \u003d 3, P(m) \u003d 1/3, λ Σ \u003d λ, serverhastigheten er μ.

Et system med lineære algebraiske ligninger er samlet fra grafen over tilstander med plottet overgangsintensitet. Fra løsningen av disse ligningene er sannsynlighetene funnet R(), ved hvilken egenskapene til QS bestemmes.

QS med en uendelig kø for Poisson-strømmer. Graf, ligningssystem, beregnede forhold.

Systemgraf

Hvor n - antall tjenestekanaler, l - antall kanaler som støtter hverandre

QS med en uendelig kø og delvis gjensidig hjelp for vilkårlige strømmer. Graf, ligningssystem, beregnede forhold.

Systemgraf

System av ligninger

–λ R 0 + nμ R 1 =0,

.………………

–(λ + nμ) P k+ λ P k –1 + nμ P k +1 =0 (k = 1,2, ... , n–1),

……………....

-(λ+ nμ) P n+ λ P n –1 + nμ P n + 1=0,

……………….

-(λ+ nμ) P n + j+ λ P n + j –1 + nμ P n + j + 1\u003d 0, j \u003d (1,2,…., ∞)

QS med endeløs kø og full gjensidig hjelp for vilkårlige strømmer. Graf, ligningssystem, beregnede forhold.

Systemgraf

System av ligninger

QS med endelig kø for Poisson-bekker. Graf, ligningssystem, beregnede forhold.

Systemgraf

System av ligninger

Designforhold:

,