Normal skiller av gruppen. Gruppehomomorfismer og normaldelere Normaldeler av en gruppe

Lagranges teorem sier at hvis, a
deretter

de. rekkefølge
av en hvilken som helst undergruppe H i en gruppe G deler N - rekkefølgen til gruppen G.

Naturligvis oppstår spørsmålet om teoriens inversjon: hvis m er en divisor
, har gruppen G en undergruppe H av orden m?

Med andre ord: eksisterer det for hver divisor m av orden til gruppen N i en undergruppe H i gruppen G av orden m?

Generelt sett er svaret nei, men i noen spesielle tilfeller slik anke Lagranges teorem er sant.

Setning. (omvendt av Lagranges teorem )

1. Hver undergruppe av en syklisk gruppe er igjen en syklisk gruppe.

2. Undergrupper av en uendelig syklisk gruppe

.

3. Undergrupper av den sykliske ordregruppen tall .

Bevis.

La oss bevise 1 ... La være Er en vilkårlig syklisk gruppe av orden
... For klarhet vil vi anta at - tilsetningsgruppe.

I dette tilfellet er det felles elementet i gruppen har skjemaet

La være
- en vilkårlig ikke-triviell undergruppe av gruppen , dvs.
.

Fordi
, deretter elementene i undergruppen
er elementer i skjemaet
, men hvis.

Blant alle elementene i utsikten
, velg elementet

hvor
Er det minste positive tallet.

Så noen
kan representeres som:

Fra det faktum at

men m er det minste tallet som tilfredsstiller tilstanden

mgH  r \u003d 0  H \u003d ,

de. H er en syklisk gruppe med et dannende element mg.

La oss bevise 2 ... Undergrupper av en uendelig syklisk gruppe
uendelige grupper
.

Faktisk siden
- syklisk gruppe med genereringselement 1 eller
, dvs.

deretter, i samsvar med punkt 1 i denne teoremet, hvilken som helst undergruppe H i den sykliske gruppen
bestemt av et naturlig tall
og har skjemaet

og alle disse undergruppene er uendelige.

La oss bevise 3 ... Undergrupper av den sykliske ordregruppen er i en-til-en korrespondanse med positive skillelinjer tall .

La som før,
- additiv syklisk gruppe av ordre , dvs.

Hvis dessuten hvis elementet

Vi må bevise det
deler .

Faktisk, forestill deg

Så fra det faktum at

,

og minimaliteten
innebærer
Følgelig
.

Dermed, fra det faktum at
, følger det at undergruppen
har orden , dvs.

.

Når
kjører over alle positive delere av tallet , gjør det samme , og vi får nøyaktig en undergruppe av ordre dele .

Konsekvens. I en syklisk gruppe
rekkefølge undergruppe
rekkefølge
samsvarer med mange gjenstander
slik at
.

Bevis. Sykliske gruppeelementer
rekkefølge ha skjemaet

Hvis
, deretter
.

Tilbake, la
og
.

Fra tilstanden
følger det
fra hvor
og.

1. Normale skillevegger

La G være en vilkårlig gruppe og H en undergruppe av gruppen G, så hvis vi får to venstre cosets
og
.

Vi ønsker å finne ut under hvilke betingelser produktet av elementer hentet fra kosetter
og
, avhenger ikke av valget av representanter for klassene og tilhører alltid samme koset som elementet
, nemlig klassen
.

Element tilhører coset
og element - relatert klasse
.

Vilkårlige elementer som tilhører henholdsvis kosetter
og
kan representeres som:

Deretter deres produkt

må tilhøre klasse

.

Dette betyr at i undergruppen H,

Multiplisere begrepet likestilling som er oppnådd fra venstre med , vi har:

(9)

hvor

Relasjon (9) lar oss trekke følgende konklusjon.

Siden elementene
er tilfeldig valgt, deretter for ethvert element
og ethvert element
det er et element

,

tilfredsstillende forhold (9).

I tillegg er elementet
og element
... I kraft av dette er hver venstre coset av G med hensyn til H inneholdt i en eller annen høyre coset av G med hensyn til samme undergruppe H:

Omvendt inkludering kan vises på samme måte

og dette vil bety det

Definisjon 1. En undergruppe H i en gruppe G kalles normal divisor eller invariant undergruppehvis for noen to kosetter g 1 H og g 2 H etter undergruppe H, produktet
vilkårlige elementer
av disse klassene, tilhører samme coset
(fig. 2).

Figur: 2 - Undergruppe H er en normal divisor av G.

Formelt: undergruppen H - normal divisor gruppe , hvis:

I kommutative grupper er hver undergruppe en normal divisor (på grunn av kommutativiteten til tilleggsoperasjonen).

For praktisk bruk av forestillingen om en normal divisor, la oss se på noen flere definisjoner som er mer "konstruktive å bruke".

Definisjon 2. Undergruppen H i gruppen G er normal divisor av en gruppe G hvis og bare hvis hver venstre coset
samsvarer med høyre håndsett
gruppe G etter H og omvendt.

Formelt: undergruppen H - normal divisor gruppe G hvis:

Tilstand (12) betyr åpenbart at:

Eksempler.

1. I hvilken som helst gruppe G gruppen selv
og enhetsundergruppen
er dens normale delere: venstre og høyre cosets av gruppen G av undergruppen
består av en coset
, og venstre (høyre) cosets med hensyn til identitetsundergruppe H består av alle elementene i G.

2. I hver abelgruppe G er hver av undergruppene H en normal divisor.

3. Multiplikasjonsgruppen med positive reelle tall
er normaldeleren til multiplikasjonsgruppen til alle ikke-null reelle tall,

4. Multiplikasjonsgruppen med ikke-null rasjonelle tall
er normaldeleren til den multiplikative gruppen av ikke-null reelle tall

5. I en multiplikasjonsgruppe
ikke-utartede matriser
-te rekkefølge med reelle koeffisienter undergruppen
matriser med determinant lik en:

er den normale skillelinjen i denne gruppen.

Faktisk identitetsmatrisen
, hvis

og

- henholdsvis venstre og høyre coset av gruppen
- ikke-utartede matriser
-te rekkefølge med reelle koeffisienter i undergruppen
- matriser med determinant lik en.

,

De.
.

På den annen side, hvis

,

fordi det
så

Derfor grupperer vi alle matriser med like determinanter i en coset (venstre eller høyre), vi får nedbrytningen av gruppen
etter undergruppe
... Dette eksemplet viser at ikke-kommutative grupper også kan ha undergrupper - normale delere som venstre coset for

samsvarer med høyre håndsett

La gruppene g 1 \u003d (G 1, ⋅, 1) og g 2 \u003d (G 2, ⋅, 1) gis. En kartlegging f: G 1 → G 2 kalles en homomorfisme av en gruppe g 1 til en gruppe g 2 (en homomorfisme av grupper) hvis for hvilken som helst x, y ∈ G 1, likheten f (x ⋅ y) \u003d f (x) ⋅ f (y) holder, det vil si, bildet av produktet av to elementer i gruppen g 1 under kartleggingen f er lik produktet av bildene i gruppen g 2.

Hvis en kartlegging f er surjective (bijective), kalles den en epimorfisme (isomorfisme) av grupper. I dette tilfellet snakker man også om en epimorfisme (isomorfisme) av gruppen g 1 til gruppen g 2.

Bemerkning 2.5. Vi betegner operasjonene til gruppene g 1 og g 2 på samme måte, som det vanligvis gjøres for algebraer av samme type, selv om dette selvfølgelig er forskjellige operasjoner av forskjellige grupper.

Eksempel 2.21. La g 1 \u003d (ℤ, +, 0) være additivgruppen med heltall, og g 2 \u003d ℤ + k - additiv gruppe av rester modulo k.

La oss definere en kartlegging f som følger: for ethvert heltall m er bildet f (m) lik resten av å dele m med k. Det kan kontrolleres at likeverdighet f (m + n) \u003d f (m ⊕ kf (n) holder for alle heltallstyper, dvs. for heltall er resten av divisjonen av summen med k lik summodulen k av resten av divisjonen ved til hvert semester.

Derfor er denne kartleggingen en homomorfisme av gruppen g 1 i gruppen g 2. Videre, siden et hvilket som helst heltall fra 0 til k - 1 er resten av et tall delt på k, er kartleggingen f også en epimorfisme av gruppen g 1 til gruppen g 1.

Setning 2.14. La g 1, g 2 være vilkårlige grupper. Hvis f: g 1 → g 1 er en homomorfisme, så:

1. bildet av enheten (nøytralt element) av gruppen g 1 under kartleggingen f er enheten for gruppen g 2, dvs. f (1) \u003d 1;
2. for ethvert element x i gruppen g 1, er bildet av elementet x -1 elementet -1, det omvendte av elementet f (x), dvs. f (x -1) \u003d -1.

◀ Ved definisjonen av en homomorfisme, for vilkårlig x ∈ g 1 har vi f (x) ⋅ f (1) \u003d f (x ⋅ 1). Videre er f (x ⋅ 1) \u003d f (x), dvs. f (x) ⋅ f (1) \u003d f (x). Derfor er f (1) \u003d (f (x)) -1 ⋅ f (x) \u003d 1, dvs. f (1) \u003d 1

La oss bevise den andre påstanden om teoremet. Ved å bruke definisjonen av en homomorfisme og den allerede beviste første utsagnet om setningen, får vi

f (x -1) ⋅ f (x) \u003d f (x -1 ⋅x) \u003d f (1) \u003d 1, dvs. f (x -1) \u003d -1

Settet f (G 1), bildet av støtten til gruppen g 1 under homomorfismen f, er lukket under multiplikasjonen av gruppen g 2. Faktisk, hvis g 2, g 2 "∈ f (g 1), så eksisterer det g 1, g 1" ∈ g 1 slik at f (g 1) \u003d g 2 og f (g 1 ") \u003d g 2". Deretter

g 2 g 2 "\u003d f (g 1) f (g 1") \u003d f (g 1 g 1 ") ∈ f (g 1).

Det følger av teorem 2.14 at f (g 1) inneholder identiteten til denne gruppen og sammen med hvert element dens inverse element. Dette betyr at man kan definere en undergruppe av gruppen g 2 som støttes av settet f (g 1). Denne gruppen kalles det homomorfe bildet av gruppen g 1 under homomorfismen f.

Gruppe K kalles ganske enkelt et homomorfisk bilde av en gruppe g hvis det eksisterer en homomorfisme av gruppen g på gruppen K ... Så gruppen ℤ * k for ethvert k\u003e 1 er et homomorft bilde av additivgruppen av heltall (se eksempel 2.21).

La oss se på neste eksempel.

Eksempel 2.22. Tenk på multiplikasjonsgruppen (C \\ (0), ⋅, 1) av komplekse tall med den vanlige operasjonen av multiplikasjon av komplekse tall. Det er lett å se at denne gruppen ikke er noe mer enn multiplikasjonsgruppen i feltet med komplekse tall.

Tenk også på gruppen M 2 ikke-degenererte firkantede matriser av andre rekkefølge med operasjonen av matriksmultiplikasjon (se eksempel 2.9.f).

Vi definerer en kartlegging f av mengden ℂ av komplekse tall i settet med andreordens firkantede matriser, og setter for et vilkårlig ikke-null kompleksnummer a + bi som

La oss vise at f er en gruppe homomorfisme. En side,

f [(a + bi) (c + di)] \u003d f [(ac - bd) + i (ad + bc)] \u003d

På den andre siden,

Følgelig

f [(a + bi) (c + di)] \u003d f (a + bi) f (c + di).

Kartleggingen f er således en gruppehomomorfisme, og det homomorfe bildet av den multipliserende gruppen av komplekse tall for f er undergruppen K matrisegrupper M 2, bestående av matriser av skjemaet Her tok vi hensyn til at en hvilken som helst matrise av skjemaet er bildet av noe komplekst tall (nemlig a + bi) under kartleggingen f. Gruppe K - egen undergruppe av gruppen M 2 . #

La oss uten bevis angi en viktig egenskap ved gruppehomomorfier.

Setning 2.15. Hvis f er en homomorfisme av en gruppe g til en gruppe K, og g er en homomorfisme av en gruppe K til en gruppe L, så er sammensetningen av kartlegginger f॰g en homomorfisme av g til L. #

Tenk på noen egenskaper ved gruppe-isomorfier.

Setning 2.16. Hvis f: g 1 → g 2 er en isomorfisme av gruppen g 1 på gruppen g 2, så er kartleggingen f -1 invers til kartleggingen f en isomorfisme av gruppen g 2 på gruppen g 1.

◀ La x og y være vilkårlige elementer i gruppen g 2, la også x \u003d f (u) og y \u003d f (v), hvor u og v er elementer i gruppen g 1.

f -1 (xy) \u003d f -1 (f (u) f (v)) \u003d uv \u003d f -1 (x) f -1 (y),

de. kartleggingen f -1 er en homomorfisme av den andre gruppen i den første. Men siden kartleggingen invers til en sammenheng er en sammenheng, så er f -1 en isomorfisme av gruppen g 2 på gruppen g 1.

Gruppene g og K kalles isomorf hvis det er en isomorfisme av den ene til den andre. I dette tilfellet brukes notasjonen g ≅ K.

Isomorfe grupper er nøyaktig de samme fra deres algebraiske egenskaper, selv om elementene kan være av forskjellig art. La oss i denne forbindelse komme tilbake til eksempel 2.22. Det er lett å verifisere at kartleggingen a av settet med komplekse tall til settet med firkantede matriser i en spesiell form definert der, er en sammenheng. Følgelig er multiplikasjonsgruppen med komplekse tall og gruppen matriser av den angitte formen med operasjonen av matrisemultiplikasjon iso-isomorf, selv om elementene i disse gruppene ved første øyekast ikke har noe til felles.

Definisjon 2.8. Kjernen til homomorfismen f gruppe g i gruppe TIL kalles det omvendte bildet Ker f av identiteten til gruppen g under homomorfismen f: Kerf \u003d f -1 (1) ⊆ G.

Eksempel 2.23... Kjernen til homomorfismen som er vurdert i eksempel 2.21 er settet med alle heltall som kan deles med k.

Setning 2.17... Kjernen Kerf av homomorfismen f: g → K er en undergruppe av g.

◀ Det er nødvendig å sørge for at settet Ker f er lukket under multiplikasjonen av gruppen Q, inneholder identiteten til denne gruppen, og sammen med hvert element inneholder elementet invers til det.

Hvis a, b ∈ Ker f, det vil si f (a) \u003d f (b) \u003d 1, deretter f (ab) \u003d f (a) f (b) \u003d 1 og ab ∈ Kerf. Det er klart at 1 ∈ Kerf, siden f (1) \u003d 1 (se setning 2.14). Hvis en ∈ Kerf, så er f (a -1) \u003d -1 \u003d 1 -1 \u003d 1, dvs. og en -1 ∈ Kerf.

Kjernen til homomorfismen gitt i eksempel 2.21 er en undergruppe av tilsetningsgruppen av heltall som består av alle tall som er multipler av k.

En undergruppe H i en gruppe g kalles normal undergruppe (normal divisor) av en gruppe g hvis aH \u003d Ha for noen a ∈ G.

I kommutasjonsgruppen, som nevnt ovenfor, er aH \u003d Ha. Derfor, i dette tilfellet, er enhver undergruppe en normal divisor.

La H \u003d (H, ⋅, 1) være en undergruppe av gruppen g \u003d (G, ⋅, 1). For faste elementer a, b ∈ G betegner vi med aHb settet til alle produktene i form ahb, hvor h ∈ H. Siden gruppedriften er assosiativ, er denne notasjonen riktig.

Setning 2.18. Undergruppen H \u003d (H, ⋅, 1) er en normal deler av gruppen g \u003d (G, ⋅, 1) hvis og bare hvis aHa -1 ⊆ H for enhver a ∈ G.

◀ Hvis H er en normal deler, så for enhver a a G aH \u003d Ha, dvs. for enhver h ∈ H, er det h 1 ∈ H slik at ah \u003d h 1 a. La et element x ∈ aHa -1, dvs. x \u003d aha -1 for noen h ∈ H. Siden ah \u003d h 1 a, så x \u003d h 1 aa -1 \u003d h 1 ∈ H og derfor aHa -1 ⊆ H.

Omvendt, hvis aHa -1 ⊆ H, så vil ethvert element x \u003d aha -1, hvor h ∈ H, tilhører mengden H, dvs. aha -1 \u003d h 1 for noen h 1 ∈ H. Derfor, når vi multipliserer den siste likheten med a til høyre, får vi ah \u003d h 1 a, det vil si elementet ah fra venstre coset aH tilhører høyre coset Ha. Så, aH ⊆ Na.

Nå, for en vilkårlig a ⊆ G, er det inverse til a et element a -1, og for det skriver vi inkluderingen a -1 On ⊆ H (husk at (a -1) -1 \u003d a). Når vi argumenterer som ovenfor, oppnår vi at for noen h, h 1 ∈ H har likheten a -1 h \u003d h 1 a -1, dvs. ha \u003d ah 1 og Ha ⊆ aH. Så, aH \u003d Ha og H er en normal deler.

Det viser seg at det er en sammenheng mellom begrepet normalfordeler og begrepet homomorfisme, som fortsetter og utvider på et nytt nivå forbindelsen som vi allerede har kjent fra kapittel 1 mellom begrepene kartlegging og en ekvivalensklasse.

Setning 2.19. Kjernen til homomorfismen f av gruppen g inn i gruppen K er en normal deler av g.

For ethvert y ∈ Ker f og ethvert ∈ G vi har

f (aya -1) \u003d f (a) f (y) f (a -1) \u003d f (a) ⋅0⋅f (a -1) \u003d f (a) f (a -1) \u003d 1

Dette betyr at for enhver a ∈ G er forholdet a (Ker f) a -1 ⊆ Ker f, og ifølge Theorem 2.18 er Kerf en normal divisor.

La H \u003d (H, ⋅, 1) være normaldeleren for gruppen g \u003d (G, ⋅, 1). Tenk på settet med alle venstre cosets (aH: a ∈ G). Dette vil ikke være noe annet enn kvotienten av mengden G ved ekvivalensforholdet ~ H definert ovenfor (se setning 2.11).

Vi introduserer multiplikasjonsoperasjonen på settet til alle venstre cosets som følger: produktet aH ⋅ bH av klassene aH og bH er klassen abH.

Denne definisjonen er riktig, siden settet aH ⋅ bH, dvs. settet med alle produktene i form ahbh 1 for forskjellige h, h 1 ∈ H, siden Hb \u003d bH for hver b ∈ G, sammenfaller med venstre coset abH. Faktisk, siden hb \u003d \u003d bH "for noen h" ∈ H, så ahbh 1 \u003d abh "h 1 ∈ аbH.

Vurder nå noen х ∈ ∈ abh, dvs. x \u003d abh for noen x ∈ Н 1. Siden bh \u003d h "b for noen h" ∈ H, så x \u003d ax "b \u003d ah" b1 ∈ aHbH. Derfor er aH ⋅ bН \u003d abH.

Videre kan det lett vises at for hver a ∈ G har vi aH ⋅ H \u003d H ⋅ aH \u003d aH og aH a -1 H \u003d a 1 H ⋅ aH \u003d H. Dette definerer en gruppe som støttes av kvotientsettet G / ~ H av settet G med hensyn til ekvivalensforholdet ~ H med operasjonen av multiplikasjon av venstre kosetter, dessuten er det nøytrale elementet med hensyn til denne operasjonen støtten til undergruppen H, og det inverse til venstre coset aH vil være venstre coset a -1 H. Denne gruppen kalles kvotientgruppen til gruppen g ved normal divisor H og betegner g / H. Man kan indikere en naturlig homomorfisme f av gruppen g i kvotientgruppen g / H, som innføres i henhold til regelen: (Ax ∈ G) (f (x) \u003d xH). Siden xH ⋅ yH \u003d xyH, så for enhver x, y ∈ G f (xy) \u003d xyH \u003d xH⋅ yH \u003d f (x) f (y) og f er faktisk en homomorfisme. Han blir kalt den kanoniske gruppens homomorfisme g til faktorgruppen g / H.

Eksempel 2.24. og. Vurder additivgruppen ℝ \u003d \u003d (ℝ, +, 0) av reelle tall. Denne gruppen er kommutativ. Husk at i en kommutativ gruppe er enhver undergruppe en normal divisor. Derfor er den normale divisoren for den undergruppen av heltall ℤ \u003d (ℤ, +, 0) (tilsetningsgruppen av heltall). (For disse gruppene vedtok vi den samme notasjonen som for deres bærere: henholdsvis ℝ og ℤ.)

La oss avklare betydningen av ekvivalensforholdet ~ definert gjennom likheten til de venstre kosettene *, av undergruppen i dette tilfellet.

Likestillingen til venstre cosets a + ℤ \u003d b + ℤ betyr at for ethvert heltall m er det et helt tall n slik at a + m \u003d b + n, det vil si a-b \u003d n-m ∈ ℤ. Omvendt, hvis forskjellen a - b er et helt tall, dvs. a -b \u003d n ∈ Z, deretter a + Z \u003d (b + n) + ℤ \u003d b + ℤ. Så, a ~ ℤ b hvis og bare hvis a - b ∈ ℤ, eller med andre ord reelle tall a og b ~ ℤ - er ekvivalente hvis og bare hvis deres brøkdeler er like.

* I dette tilfellet kan vi snakke ganske enkelt om kosetter, uten å skille mellom venstre og høyre, siden disse klassene for en normal divisor er like, spesielt siden vi "jobber" nå i en kommutativ gruppe.

Tilsetnings coset, dvs. faktorgruppen ℝ / ℤ av gruppen ℝ i forhold til normaldeleren ℤ er konstruert som følger: summen av klassene a + ℤ og b + ℤ er lik klassen (a + b) + ℤ. Når vi introduserer notasjonen a + ℤ \u003d [a], får vi [a] + [b] \u003d [a + b]. Videre er \u003d ℤ (det vil si at enheten til faktorgruppen er coset av null - settet av alle heltall), og - [a] \u003d [-a] \u003d (-a) + ℤ. Merk at cosetet til tallet x bestemmes unikt av dets brøkdel (se eksempel 1.14.6), dvs. [x] \u003d. Den kanoniske homomorfismen er i dette tilfellet definert som følger: x ↣ [x].

b. Tenk på det nå additivgruppen med reelle tall mod 1 , dvs. gruppe S 1 \u003d (: a ∈ ℝ) av cosets i halvintervallet) \u003d. Siden [x] \u003d er en tilknytning, og dessuten

φ ([x] + [y]) \u003d φ ([x + y]) \u003d \u003d +\u003e \u003d ⊕ 1 \u003d φ ([x]) ⊕ 1 φ ([y]).

Dette betyr at φ er en isomorfisme ℝ / ℤ på S 1.

Gruppe S 1 kan oppfattes som et "visuelt bilde" av faktorgruppen ℝ / ℤ. Den ganske abstrakte ideen om faktorgruppen krystalliserer seg i form av en gruppe med en bærer)