Klassifisering av køsystemer. QS med feil og full gjensidig hjelp for massestrømmer

Vurder et flerkanals køsystem (totale kanaler n), som mottar krav med intensitet λ og blir betjent med intensitet μ. En applikasjon som ankommer systemet blir servert hvis minst en kanal er gratis. Hvis alle kanaler er opptatt, avvises neste forespørsel inn i systemet og forlater QS. La oss nummerere tilstandene til systemet etter antall okkuperte kanaler:

• S 0 - alle kanaler er gratis;
• S 1 - en kanal er opptatt;
• S 2 - to kanaler er opptatt;
• S k - travelt k kanaler;
• S n - alle kanaler er opptatt.

Figur: 7.24
Figur 6.24 viser en graf med tilstander der S Jeg - kanalnummer; λ er intensiteten av ankomstkrav; μ - henholdsvis intensiteten i serviceforespørsler. Forespørsler går inn i køsystemet med konstant intensitet og opptar gradvis den ene kanalen etter den andre; når alle kanaler er opptatt, vil den neste applikasjonen som kommer til CMO motta et avslag og forlate systemet.
La oss bestemme intensiteten av strømningene av hendelser som overfører systemet fra tilstand til tilstand når vi beveger oss både fra venstre til høyre og fra høyre til venstre langs tilstandsgrafen.
La for eksempel systemet være i tilstand S 1, dvs. at en kanal er opptatt, siden det er en forespørsel ved inngangen. Så snart tjenesten for forespørselen er over, vil systemet bytte til tilstanden S 0 .
For eksempel, hvis to kanaler er opptatt, overfører tjenestestrømmen systemet fra staten S 2 i tilstand S 1 vil være dobbelt så intens: 2-μ; følgelig, hvis opptatt k kanaler, er intensiteten lik k-μ.

Vedlikeholdsprosessen er prosessen med død og reproduksjon. Kolmogorovs ligninger for denne spesielle saken vil ha følgende form:

(7.25)
Ligninger (7.25) kalles erlang ligninger .
For å finne verdiene av sannsynlighetene til statene R 0 , R 1 , …, R n, er det nødvendig å bestemme de opprinnelige forholdene:
– R 0 (0) \u003d 1, dvs. det er en forespørsel ved systeminngangen;
– R 1 (0) = R 2 (0) = … = R n(0) \u003d 0, dvs. i det første øyeblikket er systemet gratis.
Ved å integrere systemet med differensiallikninger (7.25), får vi verdiene til tilstandssannsynlighetene R 0 (t), R 1 (t), … R n(t).
Men vi er mye mer interessert i de begrensende sannsynlighetene til stater. Som t → ∞ og i henhold til formelen oppnådd når man vurderer prosessen med død og reproduksjon, får vi en løsning på ligningssystemet (7.25):

(7.26)
I disse formlene er intensitetsforholdet λ / μ til applikasjonsflyten er det praktisk å betegne ρ Denne mengden kalles den reduserte strømmen av applikasjoner, det vil si det gjennomsnittlige antall krav som ankommer QS i løpet av den gjennomsnittlige servicetiden for ett krav.

Tatt i betraktning de benevnte betegnelsene, vil ligningssystemet (7.26) ha følgende form:

(7.27)
Disse formlene for å beregne de begrensende sannsynlighetene kalles erlang-formler .
Når vi kjenner alle sannsynlighetene for tilstandene til QS, finner vi egenskapene til effektiviteten til QS, dvs. den absolutte gjennomstrømningen OG, relativ gjennomstrømning Spørsmål og sannsynligheten for svikt R åpen
En søknad mottatt av systemet vil bli avvist hvis den finner alle kanaler opptatt:

.
Sannsynligheten for at søknaden blir akseptert for forkynnelse:

Spørsmål = 1 – R åpen,
hvor Spørsmål - den gjennomsnittlige andelen av mottatte søknader som serveres av systemet, eller det gjennomsnittlige antall søknader som serveres av QS per tidsenhet, referert til gjennomsnittlig antall søknader mottatt i løpet av denne tiden:

A \u003d λ Q \u003d λ (1-P åpen)
I tillegg er en av de viktigste egenskapene til en QS med feil gjennomsnittlig antall travle kanaler... PÅ n-kanal QS med avslag, dette tallet sammenfaller med gjennomsnittlig antall applikasjoner i QS.
Gjennomsnittlig antall forespørsler k kan beregnes direkte gjennom sannsynlighetene for statene Р 0, Р 1, ..., Р n:

,
dvs. vi finner den matematiske forventningen til en diskret tilfeldig variabel, som tar en verdi fra 0 til n med sannsynligheter R 0 , R 1 , …, R n.
Det er enda lettere å uttrykke verdien av k når det gjelder absolutt gjennomstrømning av QS, dvs. A. Verdi A er gjennomsnittlig antall forespørsler som serveres av systemet per tidsenhet. Én opptatt kanal serverer μ krav per tidsenhet, og deretter er gjennomsnittlig antall opptatt kanaler

Formulering av problemet. Ved inngangen n-kanal QS mottar den enkleste strømmen av krav med tetthet λ. Tettheten til den enkleste servicestrømmen for hver kanal er μ. Hvis et krav mottatt for tjenesten finner alle kanaler gratis, godtas det for tjenesten og serveres samtidig l kanaler ( l < n). I dette tilfellet vil servicestrømmen til en forespørsel ha intensiteten l.

Hvis en kunde mottatt for service finner en kunde i systemet, så for n ≥ 2l den nyankomne søknaden vil bli akseptert for tjeneste og vil bli servert samtidig lkanaler.

Hvis en forespørsel mottatt om service befinner seg i systemet jeg applikasjoner ( jeg \u003d 0,1, ...), mens ( jeg+ 1)l≤ n, så mottas søknaden lkanaler med total kapasitet l. Hvis en nylig ankommet applikasjon blir fanget i systemet j påstander og samtidig oppnås to ulikheter: ( j + 1)l > n og j < n, så blir søknaden akseptert for tjeneste. I dette tilfellet kan noen applikasjoner bli servert l kanaler, er den andre delen mindre enn l, antall kanaler, men alle n kanaler som er tilfeldig fordelt mellom applikasjoner. Hvis en nylig mottatt søknad blir funnet i systemet n søknader, blir det avvist og vil ikke bli servert. Forespørselen som har kommet til tjenesten blir betjent til slutt (forespørslene er "tålmodige").

Tilstandsgrafen til et slikt system er vist i fig. 3.8.

Figur: 3.8. Angi graf for QS med feil og delvis

gjensidig hjelp mellom kanalene

Merk at tilstandsgrafen til systemet opp til tilstanden x h sammenfaller med tilstandsgrafen til det klassiske køsystemet med feil, vist i fig. 3.6.

Følgelig

(jeg = 0, 1, ..., h).

Systemtilstandsgraf, startende fra tilstand x h og slutter med staten x n , sammenfaller opp til notasjon med tilstandsgrafen til QS med full gjensidig hjelp vist i fig. 3.7. På denne måten,

.

Vi introduserer notasjonen λ / lμ = ρ l ; λ / nμ \u003d χ, da

Med tanke på den normaliserte tilstanden får vi

For å forkorte ytterligere notasjon introduserer vi notasjonen

La oss finne egenskapene til systemet.

Bestill tjenestesannsynlighet

Gjennomsnittlig antall forespørsler i systemet

Gjennomsnittlig opptatt kanal

.

Sannsynligheten for at en enkelt kanal vil være opptatt

.

Sannsynligheten for at alle kanaler i systemet er opptatt

3.4.4. Køsystemer med feil og heterogene strømmer

Formulering av problemet. Ved inngangen n-kanal QS mottar en inhomogen enkleste flyt med total intensitet λ Σ, og

λ Σ = ,

hvor λ jeg - intensiteten av søknadene i jeg-m kilde.

Siden strømmen av påstander blir ansett som en overstilling av krav fra forskjellige kilder, kan den kombinerte strømmen med tilstrekkelig nøyaktighet for praksis bli betraktet som Poisson for N \u003d 5 ... 20 og λ jeg ≈ λ jeg +1 (jeg1,N). Tjenesteintensiteten til en server er eksponentielt fordelt og er lik μ \u003d 1 / t... Serveringsenheter for service av en forespørsel er koblet i serie, noe som tilsvarer å øke servicetiden med så mange ganger som antall enheter er kombinert for service:

t obs \u003d kt, μ obs \u003d 1 / kt = μ/ k,

hvor t ob - servicetid for forespørselen; k - antall tjenesteenheter; μ ob er intensiteten av kravet.

Innenfor rammene av antagelsene i kapittel 2 representerer vi tilstanden til QS som en vektor, hvor k m - antall forespørsler i systemet, som hver serveres m instrumenter; L = q maks - q min +1 er antall inngangsstrømmer.

Deretter antall okkuperte og gratis servere ( n travelt ( ),n sv ( )) i stand til er definert som følger:

Fra staten systemet kan gå til en hvilken som helst annen tilstand ... Siden systemet fungerer L inngangsstrømmer, så fra hver stat er det potensielt mulig L direkte overganger. På grunn av begrensede systemressurser er imidlertid ikke alle disse overgangene gjennomførbare. La QS være i staten og det kommer en søknad som krever m enheter. Hvis m≤ n sv ( ), så blir kunden akseptert for service og systemet går over til staten med intensitet λ m ... Hvis applikasjonen krever flere enheter enn det er gratis, vil den motta tjenestenekt, og QS vil forbli i staten ... Hvis det er i stand det er applikasjoner som krever m enheter, så serveres hver av dem med en intensitet  m , og den totale intensiteten av å betjene slike påstander (μ m) er definert som μ m = k m μ / m... Etter fullføring av service av et av kravene, vil systemet gå inn i en tilstand der den tilsvarende koordinaten har en verdi en mindre enn i staten ,\u003d, dvs. omvendt overgang vil skje. I fig. 3.9 viser et eksempel på en vektor QS-modell for n = 3, L = 3, q min \u003d 1, q maks \u003d 3, P(m) \u003d 1/3, λ Σ \u003d λ, serverhastigheten er μ.

Figur: 3.9. Et eksempel på en graf av en QS-vektormodell med denial of service

Så hver stat preget av antall servicekrav av en bestemt type. For eksempel i en tilstand
en forespørsel betjenes av en enhet og en forespørsel av to enheter. I denne tilstanden er alle servere opptatt, derfor er bare omvendte overganger mulige (ankomsten til enhver kunde i denne tilstanden fører til en nektelse av tjenesten). Hvis tjenesten for den første typen krav er avsluttet tidligere, vil systemet gå til staten (0,1,0) med intensitet μ, men hvis tjenesten til den andre typen krav er avsluttet tidligere, vil systemet gå til staten (0,1,0) med intensitet μ / 2.

Et system med lineære algebraiske ligninger er samlet fra grafen over tilstander med plottet overgangsintensitet. Fra løsningen av disse ligningene er sannsynlighetene funnet R(), som bestemmer egenskapene til QS.

Vurder å finne R ob (sannsynlighet for tjenestenekt).

,

hvor S - antall tilstander i grafen til QS-vektormodellen; R() Er sannsynligheten for å finne systemet i staten .

Antall stater ifølge bestemmes som følger:

, (3.22)

;

La oss bestemme antall tilstander for QS-vektormodellen i henhold til (3.22) for eksemplet vist i fig. 3.9.

.

Følgelig S = 1 + 5 + 1 = 7.

For å implementere de virkelige kravene til serviceenheter, er det tilstrekkelig mange n (40, ..., 50), og forespørsler om antall servicetjenere for en forespørsel ligger i praksis i området 8–16. Med et slikt forhold mellom enheter og forespørsler blir den foreslåtte måten å finne sannsynligheter ekstremt tungvint på, siden vektor QS-modellen har et stort antall tilstander S(50) = 1790, S(60) = 4676, S(70) \u003d \u003d 11075, og størrelsen på matrisen til koeffisienter i systemet med algebraiske ligninger er proporsjonal med kvadratet S , som krever mye dataminne og betydelig investering av datatid. Ønsket om å redusere mengden beregning stimulerte søket etter tilbakevendende beregningsmuligheter R() basert på multiplikative former for representasjon av sannsynligheter for stater. Papiret presenterer en tilnærming til beregning R():

(3.23)

Bruken av kriteriet for ekvivalens av de globale og detaljerte saldoer av Markov-kjeder som er foreslått i arbeidet, gjør det mulig å redusere dimensjonen til problemet og utføre beregninger på en datamaskin med gjennomsnittseffekt ved bruk av gjentakelse av beregninger. I tillegg er det mulig å:

- foreta en beregning for eventuelle verdier n;

- fremskynde beregningen og redusere kostnadene for datatid.

Andre egenskaper ved systemet kan defineres på en lignende måte.

Informatikk, kybernetikk og programmering

Et servicesystem med n servicekanaler mottar en Poisson-strøm av krav med intensitet λ. Intensiteten av tjenesten for forespørselen fra hver kanal. Etter at tjenesten er avsluttet, frigis alle kanaler. Oppførselen til et slikt køsystem kan beskrives ved en tilfeldig Markov-prosess t, som er antall krav i systemet.

2. SMO med feil og full gjensidig hjelp for massestrømmer. Graf, ligningssystem, beregnede relasjoner.

Formulering av problemet. Et servicesystem med n servicekanaler mottar en Poisson-strøm av krav med intensitet λ. Intensiteten av tjenesten for kravet til hver kanal er µ. Søknaden serveres av alle kanaler samtidig. Etter at tjenesten er avsluttet, frigis alle kanaler. Hvis en nyankommet søknad finner en søknad, godtas den også for service. Noen kanaler fortsetter å betjene den første forespørselen, og resten - en ny. Hvis systemet allerede betjener n kunder, avvises den nyankomne kunden. Oppførselen til et slikt køsystem kan beskrives med en tilfeldig Markov-prosess ξ (t), som er antall kunder i systemet.

Mulige tilstander for denne prosessen er E \u003d (0, 1, ..., N). La oss finne egenskapene til den betraktede QS i stasjonær modus.

Grafen som tilsvarer prosessen som er under behandling, er vist i figur 1.

Figur: 1. spørsmål med avslag og full gjensidig hjelp for Poisson-strømmer

La oss komponere et system med algebraiske ligninger:

Løsningen på dette systemet er:

Her er χ \u003d λ / nµ gjennomsnittlig antall kunder som kommer inn i systemet i løpet av den gjennomsnittlige servicetiden til en kunde med alle kanaler.

Kjennetegn ved et flerkanals køsystem med feil og full gjensidig assistanse mellom kanalene.

1. Sannsynlighet for tjenestenekt (sannsynlighet for at alle kanaler er opptatt):

2. Sannsynligheten for at tjenesten forespørres (relativ gjennomstrømning av systemet):

Hvis tjenesten utføres trinnvis av noen sekvens av kanaler, kalles en slik QS flerfase.

PÅ CMO med "gjensidig assistanse" mellom kanalene kan samme krav serveres samtidig av to eller flere kanaler. For eksempel kan en og samme mislykket maskin betjenes av to arbeidere samtidig. Slik "gjensidig assistanse" mellom kanaler kan finne sted i både åpen og lukket QS.

PÅ QS med feil et krav som er akseptert for tjeneste i systemet, serveres ikke med full sannsynlighet, men med en viss sannsynlighet; med andre ord kan det være feil i service, og resultatet er at noen applikasjoner som gikk til QS og angivelig "servert" faktisk forblir ubetjente på grunn av en "mangel" i QS-arbeidet.

Eksempler på slike systemer inkluderer: informasjonsbyråer som noen ganger gir feil informasjon og instruksjoner; en korrekturleser som kan savne en feil eller rette den feil; telefonsentral, noen ganger kobler abonnenten til feil nummer; handels- og formidlingsfirmaer som ikke alltid oppfyller sine forpliktelser med høy kvalitet og i tide osv.

For å analysere prosessen i QS, er det viktig å vite grunnleggende systemparametere: antall kanaler, intensiteten til strømmen av forespørsler, ytelsen til hver kanal (gjennomsnittlig antall forespørsler som kanalen servert per tidsenhet), forholdene for dannelse av en kø, hastigheten på avgang for forespørsler fra køen eller systemet.

Holdningen kalles systembelastningsfaktor... Ofte vurderes bare systemer der.

Servicetiden i QS kan være enten tilfeldig eller ikke-tilfeldig. I praksis antas denne tiden oftest å være distribuert i henhold til den eksponentielle loven.

Hovedegenskapene til QS avhenger relativt lite av formen på distribusjonsloven for tjenestetid, og avhenger hovedsakelig av gjennomsnittsverdien. Derfor brukes ofte antagelsen om at tjenestetiden fordeles i henhold til en eksponentiell lov.

Antagelsene om Poisson-naturen til strømmen av krav og den eksponensielle fordelingen av tjenestetiden (som vi vil anta fra nå av) er verdifulle ved at de tillater oss å anvende apparatet til såkalte Markov-tilfeldige prosesser i køteorien.

Effektiviteten til servicesystemene, avhengig av forholdene til oppgavene og målene for studien, kan preges av et stort antall forskjellige kvantitative indikatorer.

De mest brukte er følgende indikatorer:

1. Sannsynligheten for at kanalene er opptatt med service.

Et spesielt tilfelle er sannsynligheten for at alle kanaler er gratis.

2. Sannsynlighet for nektelse av tjenesteanmodning.

3. Gjennomsnittlig antall travle kanaler karakteriserer graden av systemutnyttelse.

4. Gjennomsnittlig antall kanaler uten tjeneste:

5. Koeffisient (sannsynlighet) for nedetid for kanaler.

6. Utstyrsbelastningsfaktor (sannsynligheten for kanalbelegg)

7. Relativ gjennomstrømning - gjennomsnittlig andel av mottatte søknader som serveres av systemet, dvs. forholdet mellom gjennomsnittlig antall skader som systemet betjener per tidsenhet og gjennomsnittlig antall skader som ankommer i løpet av denne tiden.

8. Absolutt båndbredde, i. E. antall forespørsler (forespørsler) som systemet kan tjene per tidsenhet:

9. Gjennomsnittlig nedetid på kanalen

For systemer med forventning bruk ekstra egenskaper:

10. Gjennomsnittlig ventetid for forespørsler i køen.

11. Gjennomsnittlig tid brukt av en applikasjon i CMO.

12. Gjennomsnittlig kølengde.

13. Gjennomsnittlig antall applikasjoner i tjenestesektoren (i QS)

14. Sannsynligheten for at tiden søknaden er i kø ikke varer mer enn en viss tid.

15. Sannsynligheten for at antall kunder i køen som venter på start av tjenesten er større enn et visst antall.

I tillegg til de oppførte kriteriene, når du vurderer systemers effektivitet, kostnadsindikatorer:

- kostnadene ved å betjene hvert krav i systemet;

- kostnadene for tap knyttet til venting per tidsenhet;

- kostnadene for tap knyttet til bortfall av krav fra systemet;

- kostnaden for å betjene systemkanalen per tidsenhet;

Er kostnaden per enhet nedetid for kanalen.

Når du velger de optimale parametrene til systemet når det gjelder økonomiske indikatorer, kan du bruke følgende tapskostnadsfunksjon:

a) for systemer med ubegrenset ventetid

Hvor er tidsintervallet;

b) for systemer med feil

c) for blandede systemer.

Alternativene som gir konstruksjon (igangkjøring) av nye systemelementer (for eksempel servicekanaler) sammenlignes vanligvis når det gjelder reduserte kostnader.

De reduserte kostnadene for hver opsjon er summen av løpende kostnader (primalkostnad) og kapitalinvesteringer, redusert til samme dimensjon i samsvar med effektivitetsstandarden, for eksempel:

(reduserte kostnader per år);

(reduserte kostnader for tilbakebetalingsperioden),

hvor - løpende kostnader (kostnad) for hvert alternativ, s.

- industristandard koeffisient for økonomisk effektivitet av kapitalinvesteringer (vanligvis \u003d 0,15 - 0,25);

- kapitalinvesteringer for hver opsjon, s.

- standard tilbakebetalingsperiode for kapitalinvesteringer, år.

Uttrykket er summen av nåværende og kapitalkostnader for en viss periode. De kalles gitt, siden de refererer til en fast periode (i dette tilfellet til standard tilbakebetalingsperiode).

Indikatorer og kan brukes både i form av summen av kapitalinvesteringer og kostnadene for ferdige produkter, og i formen spesifikke kapitalinvesteringer per produksjonsenhet og enhetskostnad.

For å beskrive en tilfeldig prosess som forekommer i et system med diskrete tilstander, blir sannsynlighetene for stater ofte brukt, hvor er sannsynligheten for at for øyeblikket systemet vil være i en tilstand.

Det er åpenbart at.

Hvis prosessen foregår i et system med diskrete tilstander og kontinuerlig tid er markov, så for sannsynlighetene for stater er det mulig å komponere et system med lineære Kolmogorov-differensialligninger.

Hvis det er en merket graf med tilstander (figur 4.3) (her, over hver pil som fører fra stat til tilstand, legges intensiteten til strømmen av hendelser ned, som overfører systemet fra tilstand til tilstand langs denne pilen), så kan systemet med differensiallikninger for sannsynlighetene skrives umiddelbart ved å bruke følgende enkel regel.

På venstre side av hver ligning er det et derivat, og på høyre side er det like mange begreper som det er piler knyttet direkte til en gitt tilstand; hvis pilen fører på

Hvis alle strømmer av hendelser som overfører systemet fra stat til stat er stasjonære, er det totale antallet stater endelig og det er ingen stater uten utgang, da eksisterer det begrensende regimet og er preget av begrensende sannsynlighet .

Inntil nå har vi bare vurdert de QS-ene der hver forespørsel bare kan betjenes av en kanal; ledige kanaler kan ikke "hjelpe" personen som er opptatt med tjenesten.

Generelt er dette ikke alltid tilfelle: det er køsystemer der samme kunde kan betjenes av to eller flere kanaler samtidig. For eksempel kan en og samme mislykket maskin betjenes av to arbeidere samtidig. Slik "gjensidig assistanse" mellom kanaler kan finne sted i både åpen og lukket QS.

Når du vurderer QS med gjensidig assistanse mellom kanaler, må to faktorer tas i betraktning:

1. Hvor rask er tjenesten til en forespørsel når ikke en, men flere kanaler jobber med den?

2. Hva er "selvhjelpsdisiplin", det vil si når og hvordan overtar flere kanaler tjenesten til den samme forespørselen?

La oss først vurdere det første spørsmålet. Det er naturlig å anta at hvis ikke en kanal, men flere kanaler, jobber med å betjene et krav, vil intensiteten av tjenestestrømmen ikke reduseres med økende k, dvs. det vil representere en viss ikke-avtagende funksjon av antall k arbeidskanaler. La oss betegne denne funksjonen. En mulig form for funksjonen er vist i fig. 5.11.

Det er åpenbart at en ubegrenset økning i antall samtidig opererende kanaler ikke alltid fører til en proporsjonal økning i servicehastigheten; det er mer naturlig å anta at en ytterligere økning i antall okkuperte kanaler ikke lenger øker tjenesteintensiteten for en viss kritisk verdi.

For å analysere QS-arbeidet med gjensidig assistanse mellom kanalene, er det først og fremst nødvendig å stille inn type funksjon

Det enkleste tilfellet for forskning vil være tilfelle når funksjonen øker i proporsjon til k at og at forblir konstant og lik (se fig. 5.12). Hvis det totale antallet kanaler som kan hjelpe hverandre på samme tid ikke overstiger

La oss nå dvele ved det andre spørsmålet: disiplinen av gjensidig hjelp. Det enkleste tilfellet med denne disiplinen, vil vi betegne betinget "alle som en". Dette betyr at når en forespørsel vises, begynner alle kanaler å betjene den samtidig og forblir opptatt til tjenesten til denne forespørselen avsluttes. så bytter alle kanaler til å betjene et annet krav (hvis det er en) eller venter på at det skal vises hvis det ikke eksisterer, og så videre. Åpenbart, i dette tilfellet fungerer alle kanaler som en, QS blir enkeltkanal, men med høyere serviceintensitet.

Spørsmålet oppstår: er det lønnsomt eller ulønnsomt å innføre slik gjensidig hjelp mellom kanalene? Svaret på dette spørsmålet avhenger av hva intensiteten er i forespørselsflyten, hva er funksjonstypen, hva er typen QS (med avslag, med en kø), hvilken verdi som velges som et karakteristikk av serviceeffektivitet.

Eksempel 1. Det er en tre-kanals QS med avslag: strømningshastigheten på forespørsler (forespørsler per minutt), gjennomsnittlig tjenestetid for en forespørsel fra en kanal (min), funksjon Spørsmålet er om det er lønnsomt fra QS-gjennomstrømningens synspunkt å innføre gjensidig assistanse mellom kanaler av "alle som en "? Er det gunstig fra synspunktet om å redusere gjennomsnittlig tid brukt av applikasjonen i systemet?

Løsning også. Uten gjensidig hjelp,

Ved Erlangs formler (se § 4) har vi:

Relativ gjennomstrømning av CMO;

Absolutt båndbredde:

Gjennomsnittlig oppholdstid for en søknad i QS blir funnet som sannsynligheten for at søknaden blir akseptert for tjeneste, multiplisert med gjennomsnittlig tjenestetid:

Gsist (min).

Ikke glem at denne gjennomsnittstiden gjelder for alle forespørsler - både servert og ikke servert. Vi kan være interessert i gjennomsnittlig tid som en servert forespørsel forblir i systemet. Denne tiden er lik:

6. Med gjensidig hjelp.

Gjennomsnittlig tid brukt av en applikasjon i CMO:

Gjennomsnittlig tid brukt av en betjent applikasjon i CMO:

Således, i nærvær av gjensidig assistanse "alt som ett", har gjennomføringen av CMO betydelig redusert. Dette skyldes en økning i sannsynligheten for avslag: mens alle kanaler er opptatt med å betjene en forespørsel, kan andre forespørsler ankomme, og selvfølgelig motta et avslag. Når det gjelder gjennomsnittlig oppholdstid for en søknad i CMO, ble den, som forventet, redusert. Hvis vi av en eller annen grunn prøver å redusere tiden applikasjonen bruker i CMO (for eksempel hvis det å bo i CMO er farlig for applikasjonen), kan det vise seg at det til tross for reduksjon i båndbredde fortsatt vil være gunstig å kombinere tre kanaler inn i ett.

La oss nå se på innflytelsen av gjensidig assistanse av typen "alt som ett" på CMOs arbeid med forventning. For enkelhets skyld, la oss bare ta tilfelle av en ubegrenset kø. Naturligvis vil det i dette tilfellet ikke være noen innflytelse av gjensidig hjelp på gjennomføringen av køsystemet, siden alle innkommende forespørsler under noen omstendigheter vil bli servert. Spørsmålet oppstår om påvirkning av gjensidig assistanse på egenskapene til venting: gjennomsnittlig kølengde, gjennomsnittlig ventetid, gjennomsnittlig tid brukt i HOS.

I kraft av formlene (6.13), (6.14) § 6 for service uten gjensidig assistanse, vil gjennomsnittlig antall kunder i køen være

gjennomsnittlig ventetid:

og gjennomsnittlig oppholdstid i systemet:

Hvis gjensidig hjelp av typen "alt som en" brukes, vil systemet fungere som et enkeltkanalsystem med parametere

og dens egenskaper bestemmes av formler (5.14), (5.15) § 5:

Eksempel 2. Det er en trekanals QS med ubegrenset kø; strømningshastighet på forespørsler (forespørsler per min.), gjennomsnittlig servicetid Funksjon Fordelaktig med tanke på:

Gjennomsnittlig kølengde,

Gjennomsnittlig ventetid for service,

Gjennomsnittlig tid brukt av en applikasjon i CMO

å innføre gjensidig hjelp mellom kanaler som "alle som en"?

Løsning også. Uten gjensidig hjelp.

Ved formler (9.1) - (9.4) har vi

(3-2)

b. Med gjensidig hjelp

Ved formler (9.5) - (9.7) finner vi;

Dermed er den gjennomsnittlige lengden på køen og den gjennomsnittlige ventetiden i køen i tilfelle gjensidig hjelp større, men den gjennomsnittlige oppholdstiden for en søknad i systemet er mindre.

Fra eksemplene som er vurdert, er det klart at gjensidig bistand mellom til? "All as one" kontanter, bidrar som regel ikke til en økning i tjenestens effektivitet: Tiden brukt av en forespørsel i QS avtar, men andre egenskaper ved tjenesten forverres.

Derfor er det ønskelig å endre tjenestedisiplinen slik at gjensidig assistanse mellom kanalene ikke forstyrrer å akseptere nye forespørsler om service hvis de vises i løpet av tiden når alle kanaler er opptatt.

La oss kalle betinget "lik gjensidig assistanse" for følgende type gjensidig hjelp. Hvis en forespørsel kommer på et tidspunkt hvor alle kanaler er gratis, aksepteres alle kanaler for å betjene den; hvis det i øyeblikket betjenes en forespørsel kommer en annen, bytter en del av kanalene til service; hvis, mens disse to kundene blir betjent, kommer en annen, bytter noen av kanalene til å betjene den osv., til alle kanaler er opptatt; i så fall avvises den nylig ankomne søknaden (i QS med avslag) eller blir i kø (i QS med venting).

Med en slik disiplin av gjensidig bistand avvises en søknad eller blir kun i kø når det ikke er mulig å betjene den. Når det gjelder "nedetid" for kanaler, er det minimalt under disse forholdene: hvis det er minst en forespørsel i systemet, fungerer alle kanaler.

Vi nevnte ovenfor at når en ny forespørsel vises, blir noen av de travle kanalene frigitt og bytter til å betjene den nylig ankomne forespørselen. Hvilken del? Det avhenger av type funksjon Hvis den har form av en lineær avhengighet, som vist i fig. 5.12, og det spiller ingen rolle hvilken del av kanalene som skal tildeles for å betjene det nyankomne kravet, så lenge alle kanaler er opptatt (da vil den totale intensiteten av tjenester for enhver fordeling av kanaler etter krav være lik). Det kan bevises at hvis kurven er konveks oppover, som vist i fig. 5.11, så må du distribuere kanaler for forespørsler så jevnt som mulig.

La oss se på driften av en -kanals QS med "ensartet" gjensidig assistanse mellom kanalene.