СМО с отказами и полной взаимопомощью для массовых потоков. Граф, система уравнений, расчетные соотношения

До сих пор мы рассматривали только такие СМО, в которых каждая заявка может обслуживаться только одним каналом; незанятый каналы не могут «помогать» занятому в обслуживании.

Вообще, это не всегда бывает так: встречаются системы массового обслуживания, где одна и та же заявка может одновременно обслуживаться двумя и более каналами. Например, один и тот же вышедший из строя станок могут обслуживать два рабочих сразу. Такая «взаимопомощь» между каналами может иметь место как в открытых, так и в замкнутых СМО.

При рассмотрении СМО со взаимопомощью между каналами необходимо учитывать два фактора:

1. Насколько убыстряется обслуживание заявки, когда над ним работает не один, а сразу несколько каналов?

2. Какова «дисциплина взаимопомощи», т. е. когда и как несколько каналов берут на себя обслуживание одной и той же заявки?

Рассмотрим сначала первый вопрос. Естественно предположить, что если над обслуживанием заявки работает не один канал, а несколько каналов, интенсивность потока обслуживаний не будет убывать с увеличением k, т. е. будет представлять собой некоторую неубывающую функцию числа k работающих каналов. Обозначим эту функцию Возможный вид функции показан на рис. 5.11.

Очевидно, что неограниченное увеличение числа одновременно работающих каналов не всегда ведет к пропорциональному увеличению скорости обслуживания; естественнее предположить, что при некотором критическом значении дальнейшее увеличение числа занятых каналов уже не повышает интенсивности обслуживания.

Для того, чтобы проанализировать работу СМО со взаимопомощью между каналами, нужно, прежде всего, задать вид функции

Самым простым для исследования будет случай, когда функция возрастает пропорционально k при а при остается постоянной и равной (см. рис. 5.12). Если при этом общее число каналов , которые могут помогать друг другу, не превосходит

Остановимся теперь на втором вопросе: дисциплине взаимопомощи. Самый простой случай этой дисциплины мы обозначим условно «все как один». Это означает, что при появлении одной заявки ее начинают обслуживать все каналов сразу и остаются занятыми, пока не закончится обслуживание этой заявки; затем все каналы переключаются на обслуживание другой заявки (если она есть) или ждут ее появления, если ее нет, и т. д. Очевидно, в этом случае все каналов работают как один, СМО становится одноканальной, но с более высокой интенсивностью обслуживания.

Возникает вопрос: выгодно или невыгодно вводить такую взаимопомощь между каналами? Ответ на этот вопрос зависит от того, какова интенсивность потока заявок, каков вид функции каков тип СМО (с отказами, с очередью), какая величина выбирается в качестве характеристики эффективности обслуживания.

Пример 1. Имеется трехканальная СМО с отказами: интенсивность потока заявок (заявки в минуту), среднее время обслуживания одноц заявки одним каналом (мин), функция Спрашивается, выгодно ли с точки зрения пропускной способности СМО вводить взаимопомощь между каналами по типу «все как один»? Выгодно ли это с точки зрения уменьшения среднего времени пребывания заявки в системе?

Решение, а. Без взаимопомощи,

По формулам Эрланга (см. § 4) имеем:

Относительная пропускная способность СМО;

Абсолютная пропускная способность:

Среднее время пребывания заявки в СМО найдется, как вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию, умноженная на среднее время обслуживания:

Гсист (мин).

Не нужно забывать, что это среднее время относится ко всем заявкам - как обслуженным, так и необслуженным Нас же может интересовать среднее время, которое пробудет в системе обслуженная заявка. Это время равно:

6. Со взаимопомощью.

Среднее время пребывания заявки в СМО:

Среднее время пребывания обслуженной заявки в СМО:

Таким образом, при наличии взаимопомощи «все как один» пропускная способность СМО заметно уменьшилась. Это объясняется увеличением вероятности отказа: за то время, пока все каналы заняты обслуживанием одной заявки, могут прийти другие заявки, и, естественно, получить отказ. Что касается среднего времени пребывания заявки в СМО, то оно, как и следовало ожидать, уменьшилось. Если, по каким-то соображениям, мы стремимся ко всемерному уменьшению времени, которое заявка проводит в СМО (например, если пребывание в СМО опасно для заявки), может оказаться, что, несмотря на уменьшение пропускной способности, все же будет выгодно объединить три канала в один.

Рассмотрим теперь влияние взаимопомощи типа «все как один» на работу СМО с ожиданием. Возьмем для простоты только случай неограниченной очереди. Естественно, влияния взаимопомощи на пропускную способность СМО в этом случае не будет, так как при любых условиях обслужены будут все пришедшие заявки. Возникает вопрос о влиянии взаимопомощи на характеристики ожидания: среднюю длину очереди, среднее время ожидания, среднее время пребывания в СМО.

В силу формул (6.13), (6.14) § 6 для обслуживания без взаимопомощи среднее число заявок в очереди будет

среднее время ожидания:

а среднее время пребывания в системе:

Если же применяется взаимопомощь типа «все как один», то система будет работать как одноканальная с параметрами

и ее характеристики определятся формулами (5.14), (5.15) § 5:

Пример 2. Имеется трехканальная СМО с неограниченной очередью; интенсивность потока заявок (заявки в мин.), среднее время обслуживания Функция Выгодно имея в виду:

Среднюю длину очереди,

Среднее время ожидания обслуживания,

Среднее время пребывания заявки в СМО

вводить взаимопомощь между каналами типа «все как один»?

Решение, а. Без взаимопомощи.

По формулам (9.1) - (9.4) имеем

(3-2)

б. Со взаимопомощью

По формулам (9.5) - (9.7) находим;

Таким образом, средняя длина очереди и среднее время ожидания в очереди в случае взаимопомощи, больше, но среднее время пребывания заявки в системе - меньше.

Из рассмотренных примеров видно, что взаимопомощь между к? налами типа «все как один», как правило, не способствует повышению эффективности обслуживания: время пребывания заявки в СМО уменьшается, но зато ухудшаются другие характеристики обслуживания.

Поэтому желательно изменить дисциплину обслуживания так, чтобы взаимопомощь между каналами не мешала принимать к обслуживанию новые заявки, если они появятся за время, пока все каналы заняты.

Назйвем условно «равномерной взаимопомощью» следующий тип взаимопомощи. Если заявка приходит в момент, когда все каналы свободны, то все каналов принимаются за ее обслуживание; если, в момент обслуживания заявки, приходит еще одна, часть каналов переключается на ее обслуживание; если, пока обслуживаются эти две заявки, приходит еще одна, часть каналов переключается на ее обслуживание и т. д., до тех пор, пока не окажутся занятыми все каналов; если это так, вновь пришедшая заявка получает отказ (в СМО с отказами) или становится в очередь (в СМО с ожиданием).

При такой дисциплине взаимопомощи заявка получает отказ или становится в очередь только тогда, когда нет возможности ее обслужить. Что касается «простоя» каналов, то он в этих условиях минимален: если в системе имеется хотя бы одна заявка, все каналы работают.

Выше мы упомянули, что при появлении новой заявки часть занятых каналов освобождается и переключается на обслуживание вновь прибывшей заявки. Какая часть? Это зависит от вида функции Если она имеет вид линейной зависимости, как показано на рис. 5.12, и то все равно, какую часть каналов выделить на обслуживание вновь поступившей заявки, лишь бы все каналы были заняты (тогда суммарная интенсивность обслуживаний при любом распределении каналов по заявкам будет равна ). Можно доказать, что если кривая выпукла кверху, как показано на рис. 5.11, то нужно распределять каналы по заявкам как можно более равномерно.

Рассмотрим работу -канальной СМО при «равномерной» взаимопомощи между каналами.

УДК 519.248:656.71

МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С НЕСТАЦИОНАРНЫМИ ПОТОКАМИ И ЧАСТИЧНОЙ ВЗАИМОПОМОЩЬЮ МЕЖДУ КАНАЛАМИ

© 2011 В. А. Романенко

Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П.Королёва (национальный исследовательский университет)

Описана динамическая модель многоканальной системы массового обслуживания с нестационарными потоками, ожиданием в очереди ограниченной длины и частичной взаимопомощью каналов, выражающейся в возможности одновременного обслуживания заявки двумя каналами. Приведены выражения для основных вероятностно-временных характеристик системы. Описаны результаты моделирования функционирования узлового аэропорта как примера рассматриваемой системы.

Система массового обслуживания, нестационарный поток, взаимопомощь между каналами, узловой аэропорт.

Введение

Рассматривается многоканальная система массового обслуживания (СМО) с ожиданием в очереди ограниченной длины. Особенностью рассматриваемой СМО является частичная взаимопомощь между каналами, выражающаяся в возможности одновременного использования двух каналов для обслуживания одной заявки. Объединение усилий каналов приводит в общем случае к сокращению среднего времени обслуживания. Предполагается, что в СМО поступает нестационарный пуассоновский поток заявок. Продолжительность обслуживания заявки зависит от времени.

Характерным примером СМО, обладающей перечисленными особенностями, является система обслуживания перевозок аэропорта. Одновременное использование нескольких (как правило, двух) средств (стоек регистрации, авиатопливозаправщиков, спецмашин и т.п.) для обслуживания одного рейса предусматривается технологическими графиками аэропортового обслуживания больших воздушных судов (ВС). При этом необходимость повышения качества и сокращения продолжительности наземного обслуживания перевозок, особенно актуальная для крупных аэропортов, приводит к тому, что доля операций, выполняемых не одним, а несколькими (двумя) средствами, возраста-

ет с увеличением масштаба аэропорта. Описанная в статье модель разработана для решения задач анализа и оптимизации функционирования производственных комплексов узловых аэропортов (хабов), характеризующихся насыщенностью средств наземного обслуживания перевозок при ярко выраженной нестационарности потоков пассажиров, ВС и грузов и колебаниях интенсивности их обслуживания.

Общее описание модели

Модель предназначена для определения временных зависимостей вероятностных характеристик СМО, содержащей N обслуживающих каналов. Число заявок, находящихся в СМО, не должно превышать К, что может быть обусловлено техническими ограничениями по числу обустроенных в аэропорту мест стоянки ВС, вместимости аэровокзального или грузового комплекса и т.п. Число выделяемых для обслуживания одной заявки каналов а может составлять как 1, так и 2. В случае наличия не менее двух свободных каналов поступившая заявка с заданной вероятностью занимает для обслуживания

один из них и - с вероятностью у2 = 1 - у1 -оба канала. Если же в момент поступления на обслуживание заявки СМО располагает только одним свободным каналом, то эта заявка в любом случае занимает имеющийся

единственный канал. В случае отсутствия незанятых каналов вновь поступившая заявка «становится в очередь» и ожидает обслуживания. Если число заявок, находящихся в очереди, составляет К-N, то вновь прибывшая заявка покидает СМО необслуженной. Вероятность такого события должна быть малой.

На вход СМО поступает пуассоновский (не обязательно стационарный) поток заявок

с интенсивностью l(t). Предполагается, что продолжительности обслуживания заявки как одним каналом Тобсл1 (t), так и двумя -

Тобсл 2 (t) являются показательно распределёнными случайными функциями времени (случайными процессами).

Интенсивности обслуживания заявки

одним каналом ^ (t) и одновременно двумя каналами m 2 (t) определяются как

mi (t) = [Тобсл1 (t)]-1 , m2 (t) = [Тобсл2 (t)]-1,

где Тобсл1 (t) = M [Тобсл1 (t)] , Тобсл 2 (t)= М[Тобсл 2 (t)]

Среднее время обслуживания заявки одним каналом и двумя каналами соответственно.

Связь между величинами m1 (t) и m 2 (t) задаётся соотношением

m2 (t) = ^т1 (t) ,

где 9 - коэффициент, учитывающий относительное увеличение интенсивности обслуживания при использовании двух каналов.

На практике связь между числом привлекаемых средств и интенсивностью обслуживания имеет довольно сложный характер, определяемый особенностями рассматриваемой операции обслуживания. Для операций, продолжительность которых связана с объёмом выполняемых работ (например, заправка ВС авиатопливом посредством авиатопливозаправщиков, посадка в ВС или высадка из ВС пассажиров и др.), зависимость интенсивности обслуживания от числа каналов приближается к прямо пропорциональной, не являясь, однако, строго таковой из-за наличия затрат времени на подготовитель-

но-заключительные операции, на которые число средств не влияет. Для таких операций в £ 2. Для ряда операций зависимость продолжительности выполнения от числа средств или исполнителей менее выражена (например, регистрация или предполётный

досмотр пассажиров). В этом случае в »1.

В произвольный момент времени I рассматриваемая СМО может находиться в одном из Ь+1 дискретных состояний - Б0, ...,

БЬ. Переход из состояния в состояние может осуществляться в любой момент времени. Вероятность того, что в момент времени I СМО будет находиться в состоянии

няться условие нормировки 2 р () =1 Зна-

ние вероятностей Р0 (/) ,РХ (t),...,РЬ (t) позволяет определять такие важные виртуальные (мгновенные) характеристики СМО, как средняя длина очереди, среднее число занятых каналов, среднее число заявок, находящихся в СМО, и др.

Вероятности состояний р (t) находятся путём решения системы дифференциальных уравнений Колмогорова, в общем виде записываемой как

=Ё jp(t)P /(t)-P,(t)Z (t).,

г = 0,1,...,Ь,

где <р^ ^) - плотности (интенсивности) вероятностей перехода из состояния с порядковым номером г в состояние с порядковым номером ]. Величины фу (t) определяются по формуле

где Р(/; At) - вероятность того, что СМО, пребывавшая в момент t в состоянии Б., за

время At перейдёт из него в состояние

Для составления уравнений Колмогорова используется размеченный граф состояний СМО. В нём над стрелками, ведущими из Б. в Б, проставляют соответствующие интенсивности ф.. Производная вероятности каждого состояния определяется как сумма всех потоков вероятности, идущих из других состояний в данное состояние, за вычетом суммы всех потоков вероятности, идущих из данного состояния в другие.

Чтобы составить граф, вводится трё-хиндексная система обозначений, в которой состояние рассматриваемой СМО в произвольный момент времени характеризуется тремя параметрами: числом занятых каналов п (п = 0,1,...,^), числом заявок, обслуживаемых к (к = 0,1,...,^) и ожидающих обслуживания т (т = 0,1,...,^ - N).

На рис. 1 представлен размеченный граф состояний, составленный с использованием описанных выше правил и введённых обозначений, для СМО, выбранной в качестве простого примера.

На графе и в приводимой ниже соответствующей системе уравнений Колмогорова в целях экономии места опущены обозначения функциональной зависимости от времени интенсивностей 1, т1, т2 и вероятностей состояний.

^000 /Л = -(^1^ + ^2^) Р000 + тр10 + т2Р210 ,

= - (т + У-11 + У21) рш + ^Яр000 +

2т1Р220 + т2 Р320,

ЛР210 IЛ = - (т2 + ^11 + ^21) Р210 + V2ЯP000 +

Т1Р320 + 2 ^2Р420 ,

ЛР220/Л = -(2^1 + ^1^ + ^21) Р220 + ^1Рио +

3 т1Р330 + ^2Р430 ,

ЛР32<:)1Л = - (т2 + т1 + ^11 + ^21)р320 +

+^11Р210 + V2ЯP110 + 2т 1Р430 +

ЛР4ю1Л (1 + 2 ^2) Р420 + ^21Р210 + т р30 , ЛР330 /Л = -(3т1 + ^1^+ ^21) Р330 + ^11Р220 + +4^1Р440 + т2р40,

^430 /Л = - (2^1 + ^2 + 1) Р430 + ^11Р320 +

+^2^ Р220 + 3т 1р40 + 2^2р31,

ЛР530 / л =-(т + 2т2 + я) р^30+1Р420 +

+^2ЯР320 + т1Р531,

ЛР440 IЛ (4т1 + Я) р40 + Р330 +

5^1р50 + т2р41,

ЛР540/ л =-(т2 + 3т + я) р540 +яр430 +

+"^2ЯР330 + 3 т1Р541 + 2 т2Р532 ,

ЛР531/Л = - (^1 + 2^2 + Я) Р^31 + ЯР530 +

ЛР550 IЛ = -(5т1 + Я) Р550 + ЯР440 +

5т1Р551 + т2Р542,

ЛР541/ л =-(т2 + 3т + я) р^41 + яр^40 +

ЛР532 / л = -(т1 + 2т2) Р532 + я р531 ,

ЛР5511Л = - (5т1 + Я)р51 + ЯР550 + 5т1Р552 ,

лр542 / л =-(3 т + т2) р542 +я р541 ,

Лр5^ ^ = 5 т1Р552 + я р51.

Если в момент t = 0 в СМО нет заявок, то начальные условия запишутся в виде

Р10 (0) = Р210 (0) = Р220 (0) =... = Р552 (0) = 0.

Решение систем большой размерности, подобных (1), (2), с переменными величинами 1(^, тДО, т2(0 возможно только численными методами с использованием ЭВМ.

Рис. 1. Граф состояний СМО

Построение модели СМО

В соответствии с алгоритмическим подходом рассмотрим методику преобразования системы уравнений Колмогорова произвольной размерности к виду, пригодному для компьютерных вычислений. С целью упрощения записи используем вместо тройной двойную систему обозначений состояний СМО, в которой г - число занятых обслуживанием каналов плюс длина очереди,] - число заявок в СМО. Связь между системами обозначений выражают зависимости:

г = п + т, г = 0,1,...,К;

] = к + т, ] = 0,1,...,К.

Реализовано может быть не любое состояние из формальной совокупности

Б. (г = 0,1,...,К; ] = 0,1,...,К). В частности,

в рамках описываемой модели невозможны состояния, при которых две или более заявок одновременно обслуживаются одном

каналом, т.е. Р. (t) = 0, если ] > г. Обозначим символом 8 множество допустимых состояний СМО. Состояние Б. существует, и

соответствующая ему вероятность Р. ^)

может быть ненулевой, если выполняется одно из условий:

1)] <г< 2], если 2] < N,

2)] <г< ] + Ч - 1 если \ .

у] + Ч - 1 < К,

3)] < г < К, если ] + ч - 1 ^ К,

г = 0,1,...,К; ] = 0,1,...,К,

где Ч - максимальное число состояний с различным количеством обслуживающих каналов для заданного числа заявок, определяемое по формуле

Здесь скобки обозначают операцию отбрасывания дробной части. Так, например,

судя по графу состояний, изображённому на рис. 1, две заявки могут обслуживаться двумя, тремя или четырьмя каналами. Поэтому в рассмотренном выше примере

Ч = 5 - = 5 - 2 = 3.

Для реализации компьютерных вычислений с использованием системы уравнений Колмогорова произвольной размерности её уравнения должны быть приведены к некоторой универсальной форме, допускающей запись любого уравнения. С целью выработки такой формы рассмотрим фрагмент графа состояний, отображающий одно произвольное состояние Б] с ведущими из него

стрелками интенсивностей. Обозначим римскими цифрами соседние состояния, непосредственно связанные с Б. , так, как это показано на рис. 2.

Для каждого состояния Б. (г = 0,1,...,К; ] = 0,1,...,К), такого, что Б. е 8 , в момент времени t величины

р ^), р (t), Р. ^), р (t) принимают

различные значения (в том числе равные нулю). Однако при этом структура уравнения

(3) сохраняется неизменной, что позволяет использовать его для компьютерной реализации системы уравнений Колмогорова произвольной размерности.

Интенсивности фр (t) , (р. (t), стремящиеся перевести СМО в состояния с большими значениями г и ], если наличие таких состояний является возможным, определяются исходя из ряда условий следующим образом:

о.. ї а или

°(,-+1)0"+1) ї 8 ’

0(,-+2)(.+1) - 8 і £ N - 2,

о(і+1)(.+1)- 8 или

°(.+2)а+1)ї 8

О(.+1)(V+1) - 8’

Рис. 2. Фрагмент графа состояний СМО

С учётом наличия соседних по отношению к Б. состояний уравнение для Б. запишется следующим образом:

-£ = -[Р () + Р () +Р. () +

Рр (tЙ Рг, (t) + Рр+1)(.+1) (t) Р(г+1)(.+1) () +

Р(Н(1-1)^)Р(-1)(1 -1)^) +

Р 2)(}+1)()Р(г+2)(}-+1)() +

РЦ2)(.-1) (t)P(г-2)(.-Г) ().

О(.+1)(.+1)ї 8 или і > N - 2

У2Х(і), если

Я(і+1)(.+1) - 8>

О(і+2)(.+1) - 8 ’ і £ N - 2,

О(і+1)(.+1)ї 8’

О(і+2)(.+1) - 8’

г = 0,1,...,к, . = 0,1,...,к.

Интенсивности р. (), р..11 (), переводящие СМО из состояния Б-. в состояния

с меньшими значениями г и. (если наличие таких состояний возможно), прямо пропорциональны задействованному числу каналов, обслуживающих находящиеся в СМО заявки различного типа (занимающие для обслуживания один или два канала). Группу из двух каналов, занятых обслуживанием одной заявки соответствующего типа, можно рассматривать в качестве одного канала. Поэтому в общем случае

р () = кдМ1 () , Р. () = ку2^2 () ,

где к.1 - число заявок, занимающих один канал, обслуживаемых СМО в состоянии Б.; к- число заявок, занимающих по два канала, обслуживаемых СМО в состоянии Б. .

Через г и. указанные величины определяются следующим образом:

Г2. - г, если г < N,

у1 [ N - 2 (г - .), если г > N, (4)

к! 2 = г - . .

С учётом ограничений по возможности существования состояний выражения для

р (), Р. () имеют вид

^Б(г-1)(Л) е 8,

Показатели эффективности функционирования СМО

Описанная модель позволяет определить временные зависимости следующих показателей эффективности функционирования рассматриваемой СМО.

Средняя длина очереди:

мож ()=22(г-п) Р ().

Среднее число занятых каналов:

Среднее число заявок в СМО:

м, ()=22 .Р. ().

Вероятность отказа в обслуживании:

Р„, ()= 2 Р- ().

Может быть получено распределение виртуального времени ожидания заявкой

обслуживания Ж (x,t) = Р ^ож () < х) , позволяющее характеризовать качество обслуживания рассматриваемой СМО. Поступившая в систему заявка вынуждена ожидать обслуживания в случае, если все каналы заняты обслуживанием заявок, поступивших

ранее. Существует вероятность Рк=0 (t) немедленного обслуживания поступившей заявки при наличии свободного канала (или нескольких свободных каналов)

Б(г-1)(.-1) £ 8,

г = 0,1,...,К, . = 0,1, ...,К.

Р. () ° 0, если Б. £ 8 .

С учётом возможности отказа искомая величина функции распределения Ж (х^) определится как

Ж (х-‘)=(--о(т)

ЕЕЖ М (,)) ()

Ру ()° 0, если °у. ї 8 .

Здесь Ж (х,т| (і,./)) - условная функция

распределения времени ожидания некоторой заявки при условии, что в момент своего поступления Т она застала СМО в состоянии у.

В рассматриваемой СМО длительность ожидания обслуживания входящей заявкой зависит не только от числа заявок, уже находящихся в СМО, но и от распределения каналов между групповым и индивидуальным обслуживанием имеющихся заявок. Если бы взаимопомощи между каналами не существовало, то рассматриваемая СМО представляла бы собой традиционную СМО с ожиданием в очереди ограниченной длины, для которой общее время ожидания начала обслуживания заявкой, заставшей в момент поступления т других заявок в очереди, имело бы распределение Эрланга Е,^) (х) .

Здесь верхний индекс содержит интенсивность обслуживания заявок всеми N каналами, действующими при наличии очереди; нижний индекс - порядок распределения по закону Эрланга. В рассматриваемой здесь СМО описанный закон справедлив только в отношении заявок, вошедших в СМО в состояниях, когда заняты все каналы, причём все они обслуживают по одной заявке. Для этих состояний можно записать

Ж (х,т| ^ + m,N + т)) = ^+1() (х).

Обозначим как Е^”^1 (х) функцию распределения обобщённого закона Эрлан-

га, имеющего порядок 2«г - 1, где аг - чис-

ло случайных величин, распределённых по

показательному закону с параметром уі. С

использованием введённого обозначения запишем выражения для функции распределения времени ожидания в других состояниях. По сравнению с (5) эти выражения имеют более сложный вид, что не мешает их программной реализации. Далее, в качестве примера они приводятся только для трёх первых состояний полной занятости каналов с использованием введённой ранее трёхсимвольной индексации:

Ж (х,т| (п,к,т)) = Ж (х,т| (N,N - g,0)) =

= (х), 0 £ g £ д,

где и. = кіЛт (т)+ку 2М2 (т);

Ж (х,т| (п,к,т)) = Ж (х,т| (N,N - g,l)) =

Н ^ ^ - g) Км(Т)

Ж (х,т| - g, 2))

Н ^).(N - g) Км(т)

E/^(т),(т-g) ■я(т),(т-g+l)

(N),(N - g) ктМ(Т)

ЕИ-)(т-g)(х) +

^).(N - g) еН^) (х)

Среднее виртуальное время ожидания заявки Тож () определяется численно как

Тож (Т) = | ^Ж (х,Т) .

Может быть также определено распределение виртуального времени обслуживания произвольно выбранной заявки Тобсл ^) .

Поскольку изменение Тобсл (t) в рассматриваемой СМО является случайным процессом, представляющим собой смесь двух показательно распределённых случайных процессов ТобсЛ1 ^) и ТобсЛ2 ^) , то распределение

V (х^) = Р (Тобсл (t) < х) не будет показательным. С учётом возможности отказа выражение для функции распределения V (х^) запишется в виде

ЕЕУ М к,.ЙР(т)

Р.. ^) ° 0, если 8. £ 8 .

Здесь V (х^| (г,.)) - условная функция распределения времени обслуживания некоторой заявки при условии, что в момент своего поступления она застала СМО в состоянии..

Если в момент начала обслуживания заявки СМО находится в состоянии, при котором возможно как групповое, так и индивидуальное обслуживание, то время обслуживания представляет собой смесь двух про-

переход к групповому обслуживанию - при наличии возможности состояния (рис.2). Таким образом, имеем:

У (М (і--/")) =

у (1 - е-т(т)х) + +у (1 - е^2(т)х),

I О(і+2)(]+1) ї 8, О(і+1)(.+1) - 8,

"2\* ^ І’ I ^ +2)(.+1)

і = 0,1,...,N -1, і = 0,1,...,N -1.

Поскольку при отсутствии двух свобод -ных каналов любая заявка обслуживается одним каналом, то фактическая вероятность ^) выделения одного канала бу-

дет больше заданной V Функция уф ^) определяется как

ЕЕу О","р(т)

Р. (т) ° 0, если Я. ї 8 .

Здесь у1 (г,. - вероятность выделения одного аппарата для обслуживания заявки, поступившей в СМО в состоянии.:

О(і+1)(.+1) - 8, О(і

2)(}+1) -2)(!+1)

должительностей: Тобсл1 (т) и Тобсл2 (т) , рас- і = 0,1...,К -1, . = 0,1...,К -1.

пределённых показательно с параметрами ^1 (t) и ^2 (t) , соответственно. Если же в

этот момент нет возможности выделения двух каналов, то время обслуживания заявки распределено показательно с параметром

т (t). При подходе заявки к обслуживающим каналам в состоянии Б. переход к индивидуальному обслуживанию допустим при

наличии возможности состояния Я(

Средняя продолжительность обслуживания заявки, вошедшей в СМО в момент

Т, может быть через уф (Т) определена как

Тбл (т)=уф (т) Тм (т)+ Тбс 2 (т).

Распределение виртуального времени пребывания заявки в СМО

и (х,т)= Р (Тпреб (т)< х)

определяется с использованием полученных и (х^| (п,к,т)) = и (х^\ (NN - £,1)) ранее выражений для функций распределения времени ожидания и времени обслужи- =

вания как И,

2^2 (т) Ет^^(т)^^) (х) +

ЕЕи М))рї(т)

и (х,т| (^ .)) =

1 - е-М1(т)х

у (1 - е-т(т)х)-+у2(1 - е

(1 - е ^т(т)х),

О(і+1)(.+1) - 8, О(і+ 2)(.+1) ї 8’

О(і+1)(.+1) - 8’ О(і+2)(.+1) - 8,

г = 0,1,...^-1, . = 0’l’...’N-1.

Для других состояний формулы условной функции распределения записываются по аналогии с формулами для

Ж (х^| (п,к,т)) с использованием трёхсимвольной индексации. Ниже они приведены для трёх первых состояний полной занятости каналов:

К моменту входа заявки очереди нет, однако все каналы заняты:

и (х^| (п,к,т)) = и (х^| (NN - g,0)) =

(х), 0 £ g £ д;

К моменту входа заявки в очереди находится одна заявка:

Р. (т) ° 0, если Я. ї 8 .

Здесь и (х^| (г,.)) - условная функция распределения времени пребывания в СМО некоторой заявки при условии, что в момент своего поступления t она застала систему в состоянии..

Для состояний со свободными каналами время пребывания в СМО совпадает со временем обслуживания:

К моменту входа заявки в очереди находятся две заявки:

и (х,т| (т,т - ^2))

(т)(т^)Н (т)(т^+1)

(т)(т - g) кцМ (т)

(т)(т - g) КцМ (т)

Среднее виртуальное время пребывания заявки в СМО определяется как

Тпреб ^) = Тобсл (t) + Тож (t) .

Пример использования модели СМО

Моделируется функционирование в течение суток производственного комплекса одного из восточноевропейских региональных узловых аэропортов при выполнении отдельной технологической операции обслуживания прибывающих ВС. В качестве исходных данных для моделирования использованы временные зависимости усреднённой интенсивности потока ВС, поступающих

на обслуживание, я(t) и интенсивности

обслуживания ВС одним средством т1 (t) .

Как следует из построенного по данным

сайта аэропорта графика зависимости я(t)

(рис. 3 а), поступление ВС характеризуется существенной неравномерностью: в течение суток наблюдаются четыре максимума интенсивности, соответствующие четырём «вол-

нам» прибытия-отправления рейсов. Пиковые значения 1(t) для основных «волн» достигают 25-30 ВС/ч.

На рис. 3 а также отображён график зависимости т (t) . Предполагается, что не

только интенсивность потока ВС, но и интенсивность их обслуживания является функцией времени и зависит от фазы «волны». Дело в том, что для сокращения среднего времени трансфера пассажиров расписание узлового аэропорта строится таким образом, чтобы «волну» инициировали прилёты самолётов большой пассажировместимости, обслуживание которых требует больших затрат времени, а завершали прилёты малых самолётов. В примере принимается, что средняя длительность выполнения операции одним средством, составляющая для большей части продолжительности суток 20 мин., на начальном этапе «волны» возрастает до 25 мин. и сокращается на заключительном этапе до 15 мин. Таким образом, четыре интервала с

пониженным уровнем т (t) на рис. 3а соответствуют начальным фазам «волн», когда преобладают прилёты больших самолётов. В свою очередь, четыре интервала повышения

уровня т ^) выпадают на завершающие

фазы «волн» с преобладанием малых самолётов.

Ниже описаны результаты моделирования, позволяющие оценить эффективность функционирования системы. На рис. 3б-3г представлены временные зависимости средних величин числа занятых каналов Nз ^),

общего числа заявок в системе МЗ ^) и

длины очереди Мож (7) , полученные для двух предельных значений вероятности п1 = 0 и п1 = 1 при следующих расчётных характеристиках: N = 10; К = 40; в = 1.75 . Судя по графику зависимости Nз (t)

(рис. 3б), в течение большей части суточного интервала времени занятость обслуживающих каналов системы остаётся низкой, что является следствием нестационарности вхо-

дящего потока самолётов. Высокая загрузка (60-80 %) достигается только в течение второй «волны» прилётов-вылетов, причём вариант п1 = 0 при больших значениях 1(t) вызывает большую загруженность системы, а при малых значениях 1(t) - меньшую по

сравнению с вариантом п1 = 1. При этом, как

показало моделирование, вероятность отказа в рассматриваемой системе для обоих вариантов пренебрежимо мала.

Сравнение графиков зависимостей

МЗ ^) и Мож ^) (рис. 3в и 3г соответственно) позволяет сделать вывод о том, что в СМО при п1 = 0 находится заявок в среднем меньше, а ожидают обслуживания заявок больше, чем при п1 = 1. Противоречие это объясняется тем, что каждая поступившая в СМО заявка, занимающая в случае п1 = 0 два

канала, оставляет меньше свободных каналов следующим за ней заявкам, вынуждая их создавать большую очередь, чем в случае

п1 = 1. В то же время групповое использование каналов, сокращая время обслуживания, служит причиной снижения общего числа обслуживаемых и ожидающих обслуживания заявок. Так, в рассматриваемом примере среднее в течение суток время обслуживания

для варианта п1 = 1 составляет 20 мин., а для

варианта п1 = 0 - 11.7 мин.

Рассмотренная выше модель даёт возможность решать задачи, связанные с поиском оптимального управления качеством обслуживания перевозок. На рис. 3д, 3е приведены некоторые результаты решения подобного рода задачи, смысл которой пояснён далее на примере рассматриваемого аэропорта.

Небольшая даже в течение пиковых нагрузок средняя длина очереди, не превышающая в рассматриваемом примере 0.6 ВС (рис. 3г), не даёт гарантии, что для подавляющего числа ВС время ожидания в очереди будет приемлемым. Малое среднее время ожидания при удовлетворительном среднем времени выполнения операции обслужива-

ния также не исключает возможности недопустимо длительных простоев на обслуживании отдельных ВС. Рассмотрим пример, когда к качеству аэропортового обслуживания предъявляются требования как по обеспечению удовлетворительных значений времени ожидания обслуживания, так и по времени пребывания в системе. Будем считать, что более 90 % ВС должны простаивать на обслуживании меньше 40 мин., причём время ожидания обслуживания для такой же доли самолётов должно быть меньше 5 мин. С использованием введённых выше обозначений эти требования к качеству аэропортового обслуживания запишутся в виде неравенств:

Р (Тпреб (t)< 40мин)> 09, Р (Тож (t)< 5мин)> 09

На рис. 3д, 3е приведены временные зависимости вероятностей Р (Тпреб (/) < 40мин)

и Р (Тож. (") < 5 мин) для интервала времени

460-640 мин. от начала модельных суток, соответствующего второй «волне» прилётов.

Как видно из рисунков, вариант п1 = 1 не

обеспечивает расчётной надёжности по времени обслуживания: требование к времени обслуживания, задаваемое условием

Р (Тпреб (t)< 40мин)> 09 , выполняется только в течение краткого промежутка 530560 мин., соответствующего прилётам малых

ВС. В свою очередь, вариант п1 = 0 не обеспечивает расчётной надёжности по времени ожидания в очереди: в течение промежутка прилётов больших ВС (500-510 мин.) не вы-

Рис. 3. Результаты моделирования 262

полняется условие Р (Тож (т) < 5мин) > 0.9.

Как показало моделирование, выходом из сложившейся ситуации может явиться выбор

компромиссного варианта у1 » 0.2. На практике этот вариант означает, что службам аэропорта следует направлять по два средства на обслуживание не всех ВС, а только выбранных по определённому признаку, например,

пассажировместимости. Здесь у1 играет роль

параметра, позволяющего управлять показателями функционирования СМО: временем ожидания заявки в очереди и временем пребывания заявки в СМО или временем обслуживания.

Итак, рассмотренная система, использующая для обслуживания заявки один или одновременно два канала, является частным, но практически значимым случаем СМО с

взаимопомощью каналов. Использование динамической модели такой СМО позволяет ставить и решать различные оптимизационные, в том числе многокритериальные, задачи, связанные с управлением не только общей численностью средств, но и их взаимопомощью. Такого рода задачи особенно актуальны для насыщенных средствами обслуживания узловых аэропортов с их нестационарными потоками рейсов и колеблющейся интенсивностью обслуживания. Таким образом, модель рассмотренной СМО является инструментом анализа и оптимизации параметров такого перспективного класса аэропортов, как хабы.

Библиографический список

1. Бочаров, П.П. Теория массового обслуживания [Текст] / П.П. Бочаров, А.В. Пе-чинкин. - М.: Изд-во РУДН, 1995. - 529 с.

MODEL OF A QUEUEING SYSTEM WITH NON-STATIONARY STREAMS AND PARTIAL MUTUAL ASSISTANCE BETWEEN CHANNELS

© 2011 V. A. Romanenko

Samara State Aerospace University named after academician S. P. Korolyov (National Research University)

A dynamic model of multichannel queueing system with non-stationary streams, waiting in a limited-length queue and partial mutual assistance of channels expressed in the opportunity of simultaneous service of a customer by two channels is described. Expressions for the basic probability-time characteristics of the system are given. The results of modeling the functioning of a hub airport as an example of the system discussed are described.

Queueing system, non-stationary flow, mutual assistance between channels, hub airport.

Информация об авторе Романенко Владимир Алексеевич, кандидат технических наук, доцент, докторант кафедры организации и управления перевозками на транспорте, Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королёва (национальный исследовательский университет). E-mail: [email protected]. Область научных интересов: оптимизация и моделирование системы обслуживания перевозок узлового аэропорта.

Romanenko Vladimir Alexeevitch, candidate of technical sciences, associate professor, doctor"s degree at the department of transportation organization and management, Samara State Aerospace University named after academician S. P Korolyov (National Research University). E-mail: vla_rom@mail .ru. Area of research: optimization and simulation of a hub airport transportation service system.

Рассмотрим многоканальную систему массового обслуживания (всего каналов n), в которую поступают заявки с интенсивностью λ и обслуживаются с интенсивностью μ. Заявка, прибывшая в систему, обслуживается, если хотя бы один канал свободен. Если все каналы заняты, то очередная заявка, поступившая в систему, получает отказ и покидает СМО. Пронумеруем состояния системы по числу занятых каналов:

• S 0 – все каналы свободны;
• S 1 – занят один канал;
• S 2 – занято два канала;
• S k – занято k каналов;
• S n – все каналы заняты.

Рис. 7.24
На рисунке 6.24 изображен граф состояний, в котором S i – номер канала; λ – интенсивность поступления заявок; μ – соответственно интенсивность обслуживания заявок. Заявки поступают в систему массового обслуживания с постоянной интенсивностью и постепенно занимают один за другим каналы; когда все каналы будут заняты, то очередная заявка, прибывшая в СМО, получит отказ и покинет систему.
Определим интенсивности потоков событий, которые переводят систему из состояния в состояние при движении как слева направо, так и справа налево по графу состояний.
Например, пусть система находится в состоянии S 1 , т. е. один канал занят, поскольку на его входе стоит заявка. Как только обслуживание заявки закончится, система перейдет в состояние S 0 .
Например, если заняты два канала, то поток обслуживания, переводящий систему из состояния S 2 в состояние S 1 будет вдвое интенсивнее: 2-μ; соответственно, если занято k каналов, интенсивность равна k-μ.

Процесс обслуживания является процессом гибели и размножения. Уравнения Колмогорова для этого частного случая будут иметь следующий вид:

(7.25)
Уравнения (7.25) называются уравнениями Эрланга .
Для того, чтобы найти значения вероятностей состояний Р 0 , Р 1 , …, Р n , необходимо определить начальные условия:
– Р 0 (0) = 1, т. е. на входе системы стоит заявка;
– Р 1 (0) = Р 2 (0) = … = Р n (0) = 0, т. е. в начальный момент времени система свободна.
Проинтегрировав систему дифференциальных уравнений (7.25), получим значения вероятностей состояний Р 0 (t ), Р 1 (t ), … Р n (t ).
Но гораздо больше нас интересуют предельные вероятности состояний. При t → ∞ и по формуле, полученной при рассмотрении процесса гибели и размножения, получим решение системы уравнений (7.25):

(7.26)
В этих формулах отношение интенсивности λ / μ к потоку заявок удобно обозначить ρ .Эту величину называют приведенной интенсивностью потока заявок, то есть среднее число заявок, приходящих в СМО за среднее время обслуживания одной заявки.

С учетом сделанных обозначений система уравнений (7.26) примет следующий вид:

(7.27)
Эти формулы для вычисления предельных вероятностей называются формулами Эрланга .
Зная все вероятности состояний СМО, найдем характеристики эффективности СМО, т. е. абсолютную пропускную способность А , относительную пропускную способность Q и вероятность отказа Р отк.
Заявка, поступившая в систему, получит отказ, если она застанет все каналы занятыми:

.
Вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию:

Q = 1 – Р отк,
где Q – средняя доля поступивших заявок, обслуживаемых системой, или среднее число заявок обслуженных СМО в единицу времени, отнесенное к среднему числу поступивших за это время заявок:

A=λ·Q=λ·(1-P отк)
Кроме того, одной из важнейших характеристик СМО с отказами является среднее число занятых каналов . В n -канальной СМО с отказами это число совпадает со средним числом заявок, находящихся в СМО.
Среднее число заявок k можно вычислить непосредственно через вероятности состояний Р 0 , Р 1 , … , Р n:

,
т. е. находим математическое ожидание дискретной случайной величины, которая принимает значение от 0 до n с вероятностями Р 0 , Р 1 , …, Р n .
Еще проще выразить величину k через абсолютную пропускную способность СМО, т.е. А. Величина А – среднее число заявок, которые обслуживаются системой в единицу времени. Один занятый канал обслуживает за единицу времени μ заявок, тогда среднее число занятых каналов

Если обслуживание производится поэтапно некоторой последовательностью каналов, то такую СМО называют многофазной .

В СМО со «взаимопомощью» между каналами одна и та же заявка может одновременно обслуживаться двумя и более каналами. Например, один и тот же вышедший из строя станок могут обслуживать два рабочих сразу. Такая «взаимопомощь» между каналами может иметь место как в открытых, так и в замкнутых СМО.

В СМО с ошибками заявка, принятая к обслуживанию в системе, обслуживается не с полной вероятностью, а с некоторой вероятностью ; другими словами, могут иметь место ошибки в обслуживании, результатом которых является то, что некоторые заявки, пошедшие СМО и якобы «обслуженные», в действительности остаются не обслуженными из-за «брака» в работе СМО.

Примерами таких систем могут быть: справочные бюро, иногда выдающие неправильные справки и указания; корректор, могущий пропустить ошибку или неверно ее исправить; телефонная станция, иногда соединяющая абонента не с тем номером; торгово-посреднические фирмы, не всегда качественно и в срок выполняющие свои обязательства, и т.д.

Для анализа процесса, протекающего в СМО, существенно знать основные параметры системы : число каналов , интенсивность потока заявок , производительность каждого канала (среднее число заявок, обслуживаемое в единицу времени каналом), условия образования очереди, интенсивность ухода заявок из очереди или системы.

Отношение называют коэффициентом загрузки системы . Часто рассматриваются только такие системы, в которых .

Время обслуживания в СМО может быть как случайной, так и не случайной величиной. На практике это время чаще всего принимается распределенным по показательному закону , .

Основные характеристики СМО сравнительно мало зависят от вида закона распределения времени обслуживания, а зависят главным образом от среднего значения . Поэтому часто пользуются допущением, что время обслуживания распределено по показательному закону.

Допущения о пуассоновском характере потока заявок и показательном распределении времени обслуживания (которые мы будем предполагать впредь) ценны тем, что позволяют применить в теории массового обслуживания аппарат так называемых марковских случайных процессов.

Эффективность систем обслуживания в зависимости от условий задач и целей исследования можно характеризовать большим числом разных количественных показателей.

Наиболее часто применяются следующие показатели :

1. Вероятность того, что обслуживанием заняты каналов – .

Частным случаем является – вероятность того, что все каналы свободны.

2. Вероятность отказа заявки в обслуживании .

3. Среднее число занятых каналов характеризует степень загрузки системы.

4. Среднее число каналов, свободных от обслуживания:

5. Коэффициент (вероятность) простоя каналов .

6. Коэффициент загрузки оборудования (вероятность занятости каналов)

7. Относительная пропускная способность – средняя доля поступивших заявок, обслуживаемая системой, т.е. отношение среднего числа заявок, обслуживаемых системой в единицу времени, к среднему числу поступающих за это время заявок.

8. Абсолютная пропускная способность , т.е. число заявок (требований), которое может обслужить система за единицу времени:

9. Среднее время простоя канала

Для систем с ожиданием используют дополнительно характеристики:

10. Среднее время ожидания требований в очереди .

11. Среднее время пребывания заявки в СМО .

12. Средняя длина очереди .

13. Среднее число заявок в сфере обслуживания (в СМО)

14. Вероятность того, что время пребывания заявки в очереди не продлится больше определенного времени.

15. Вероятность того, что число требований в очереди, ожидающих начала обслуживания, больше некоторого числа.

Кроме перечисленных критериев при оценке эффективности систем могут быть использованы стоимостные показатели :

– стоимость обслуживания каждого требования в системе;

– стоимость потерь, связанных с ожиданием в единицу времени;

– стоимость убытков, связанных с уходом требований из системы;

– стоимость эксплуатации канала системы в единицу времени;

– стоимость единицы простоя канала.

При выборе оптимальных параметров системы по экономическим показателям можно использовать следующую функцию стоимости потерь :

а) для систем с неограниченным ожиданием

Где – интервал времени;

б) для систем с отказами ;

в) для смешанных систем .

Варианты, в которых предусматривается строительство (ввод) новых элементов системы (например, каналов обслуживания), обычно сравниваются по приведенным затратам .

Приведенные затраты по каждому варианту есть сумма текущих затрат (себестоимости) и капитальных вложений, приведенных к одинаковой размерности в соответствии с нормативом эффективности, например:

(приведенные затраты за год);

(приведенные затраты за срок окупаемости),

где – текущие затраты (себестоимость) по каждому варианту, р.;

– отраслевой нормативный коэффициент экономической эффективности капитальных вложений (обычно = 0,15 - 0,25);

– капитальные вложения по каждому варианту, р.;

– нормативный срок окупаемости капитальных вложений, лет.

Выражение есть сумма текущих и капитальных затрат за определенный период. Их называют приведенными , так как они относятся к фиксированному отрезку времени (в данном случае к нормативному сроку окупаемости).

Показатели и могут применяться как в виде суммы капитальных вложений и себестоимости готовой продукции, так и в виде удельных капитальных вложений на единицу продукции и себестоимости единицы продукции.

Для описания случайного процесса, протекающего в системе с дискретными состояниями , часто пользуются вероятностями состояний , где – вероятность того, что в момент система будет находиться в состоянии .

Очевидно, что .

Если процесс, протекаемый в системе с дискретными состояниями и непрерывным временем, является марковским , то для вероятностей состояний можно составить систему линейных дифференциальных уравнений Колмогорова.

Eсли имеется размеченный граф состояний (рис.4.3) (здесь над каждой стрелкой, ведущей из состояния в состояние, проставлена интенсивность потока событий, переводящего систему из состояния в состояние по данной стрелке), то систему дифференциальных уравнений для вероятностей можно сразу написать, пользуясь следующим простым правилом .

В левой части каждого уравнения стоит производная , а в правой части – столько членов, сколько стрелок связано непосредственно с данным состоянием; если стрелка ведет в

Если все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, стационарны , общее число состояний конечно и состояний без выхода нет, то предельный режим существует и характеризуется предельными вероятностями .

Система уравнений

СМО с отказами для случайного числа обслуживающих потоков векторная модель для пуассоновских потоков. Граф, система уравнений.

СМО представим в виде вектора , где k m – число заявок в системе, каждая из которых обслуживается m приборами; L = q max – q min +1 – число входных потоков.

Если заявка принимается на обслуживание и система переходит в состояние с интенсивностью λ m .

При завершении обслуживания одной из заявок система перейдет в состояние, в котором соответствующая координата имеет значение, на единицу меньшее, чем в состоянии , = , т.е. произойдет обратный переход.

Пример векторной модели СМО для n = 3, L = 3, q min = 1, q max = 3, P (m ) = 1/3, λ Σ = λ, интенсивность обслуживания прибора – μ.

По графу состояний с нанесенными интенсивностями переходов составляется система линейных алгебраических уравнений. Из решения этих уравнений находятся вероятности Р (), по которым определяется характеристики СМО.

СМО с бесконечной очередью для пуассоновских потоков. Граф, система уравнений, расчетные соотношения.

Граф системы

Где n – число каналов обслуживания, l – число взаимопомогающих каналов

СМО с бесконечной очередью и частичной взаимопомощью для произвольных потоков. Граф, система уравнений, расчетные соотношения.

Граф системы

Система уравнений

–λ Р 0 + n μР 1 =0,

.………………

–(λ + n μ)Р k + λР k –1 + n μР k +1 =0 (k = 1,2, ... , n –1),

……………....

-(λ+ n μ)P n + λР n –1 + n μ Р n+1 =0,

……………….

-(λ+ n μ)P n+j + λР n+j –1 + n μ Р n+j+1 =0, j=(1,2,….,∞)

СМО с бесконечной очередью и полной взаимопомощью для произвольных потоков. Граф, система уравнений, расчетные соотношения.

Граф системы

Система уравнений

СМО с конечной очередью для пуассоновских потоков. Граф, система уравнений, расчетные соотношения.

Граф системы

Система уравнений

Расчетные соотношения:

,