Типовые математические модели. Классификация входных потоков Тогда очевидно, что

12.37 Руководство по входной/выходной информации ПО Руководство по входной/выходной информации ПО объясняет пользователю как представить, ввести входную информацию и как интерпретировать выходную информацию, в каком режиме (пакетном или интерактивном) работает система

Элементы теории массового обслуживания

§ 1. Введение

Теория массового обслуживания иначе называется Теория очередей. И действительно, теория массового обслуживания в значительной степени посвящена изучению очередей, возникающих в различных системах.

Основными характеристиками систем массового обслуживания являются следующие случайные величины:

среднее время пребывания клиента в очереди;

доля времени, в течение которого система простаивает (из-за отсутствия клиентов).

Функциональные возможности систем массового обслуживания определяются следующими факторами:

распределение моментов распределения клиентов;

распределение продолжительности обслуживания;

конфигурация обслуживающей системы (последовательное, параллельное или параллельно-последовательное обслуживание);

дисциплина в очереди (обслуживание в порядке поступления, обслуживание в обратном порядке, случайный отбор клиентов);

вместимость блока ожидания (ограниченная или неограниченная);

емкость или мощность источника требования (ограниченная и неограниченная);

некоторые другие характеристики системы (возможности клиентов переходить из одной очереди в другую, ненулевая вероятность отказа и др.).

Основными факторами являются первые два.

Любая система массового обслуживания состоит из следующих основных элементов:

входной поток клиентов;

обслуживающий прибор;

дисциплина в очереди.

§ 2 . Входной поток клиентов

Рассмотрим последовательности случайных величин

Предположим, что t o = 0 – начальный момент функционирования системы; t 1 = t o + τ 1 , t 2 = t 1 + τ 2 , …, t k = t k -1 + τ k , …., где τ k – независимые случайные величины, имеющие показательное распределение с параметром λ.

Здесь t 1 – момент поступления первого клиента, τ 1 – промежуток времени между началом работы системы и моментов прихода первого клиента, τ 2 – промежуток времени между моментами прихода первого и второго клиентов, и т.д.

Последовательность
, заданная вышеуказанным образом называется простейшим (пуассоновским ) потоком . А постоянная называется параметром простейшего потока.

Свойства простейшего потока

1. Сдвиг потока на величину Т

Пусть имеется простейший поток
с параметром λ.

Сдвигая поток на величину Т , получаем поток
, который также будет являться простейшим потоком с тем же параметром λ. Например, если T находится между и , то новый поток выглядит так:

, ….

2. Слияние двух потоков

П
усть имеются два независимых простейших потока

с
параметрами λ (1) , λ (2) соответственно. Будем говорить, что поток образовался в результате слияния двух потоков, если множество {t k } есть объединение множеств {t k (1) }, {t k ( 2) } и элементы множества {t k } упорядочены в порядке возрастания.

П
оток, получившийся в результате слияния двух независимых простейших потоков, является тоже простейшим потоком с параметром λ = λ (1) + λ (2) , где λ (j) – параметр потока

3. Разделение простейшего потока

Пусть имеется простейший поток с параметром λ,

и последовательность независимых случайных величин
, принимающих два значения:

P(ξ i = 1) = p , P(ξ i = 0) = q , p  0, q  0, p + q = 1.

Такие случайные величины называются бернуллиевскими (с параметром p ). Процедура разделения потока {t k } состоит в следующем: число t i отнесем к первому потоку, если ξ i = 1; если же ξ i = 0, то число t i отнесем ко второму потоку. Такую операцию разделения потока на два назовем бернуллиевской (с параметром p ).

Потоки, полученные в результате бернуллиевского разделения простейшего потока, являются независимыми простейшими потоками с параметрами λ (1) = λp, λ (2) = λq соответственно.

Отметим, что доказательства этих свойств простейшего потока можно найти в .

Ч
ерез X(t) в дальнейшем будем обозначать число клиентов в системе в момент t , т.е.

Свойства пуассоновских процессов

Приращение пуассоновского процесса однородное .

Обозначим через X ((a ,b ]) = X (b ) – X (a ) приращение процесса, которое может быть интерпретировано как число клиентов, поступающих в систему в промежутке (a ,b ]. Однородность означает выполнение условия:

P(X ((a ,b ]) = k) = P(X ((0,b -a ]) = k) = P(X (b -a ) = k),

т.е. распределение вероятностей числа клиентов, поступающих в систему в промежутке (a ,b ], зависит только от длины этого промежутка.

Приращения пуассоновского процесса независимы .

Рассмотрим промежуток (0, b ] и предположим, что он разбит на непересекающиеся промежутки (0, b 1 ], (b 1 , b 2 ], , (b N -1 , b N ]. Пусть b 0 = 0. Тогда X ((b 0 , b 1 ]), X ((b 1 , b 2 ]), , X ((b N -1 , b N ]) – число клиентов, поступающих в систему в соответствующие периоды времени. Эти величины независимы, т.е.

P(X ((b 0 , b 1 ]) = i 1 , , X ((b N -1 , b N ]) = i N) =

P(X ((b 0 , b 1 ]) = i 1)  P(X ((b N-1 , b N ]) = i N).

Доказательства этих свойств можно найти в .

Задачи к § 2.

2.1. Имеются две случайные величины  1 и  2 . Они независимые и имеют показательное распределение с параметрами  1 и  2 соответственно. Введем следующую случайную величину:  = min{ 1 ,  2 }. Доказать, что эта величина имеет показательное распределение с параметром = 1 + 2 .

2.2. Даны две независимые случайные величины  1 и  2 , имеющие пуассоновское распределение с параметром  1 и  2 соответственно. Пусть случайная величина  = 1 + 2 . Доказать, что эта величина имеет распределение Пуассона с параметром  = 1 + 2 .

2.3. Пусть  - число клиентов в магазинах и имеет распределение Пуассона с параметром  . Пусть каждый клиент с вероятностью p делает покупку в этом магазине. Требуется доказать, что число клиентов, сделавших покупку в этом магазине, имеет распределение Пуассона с параметром p .

2.4. Посетители приходят в ресторан в соответствии с пуассоновским потоком со средней частотой 20 посетителей в час. Ресторан открывается в 11.00.

а) вероятность того, что в 11.12 в ресторане окажется 20 посетителей при условии, что в 11.07 в ресторане было 18 посетителей;

б) вероятность того, что новый посетитель прибудет в ресторан в интервале между 11.28 и 11.30, если известно, что предыдущий посетитель прибыл в ресторан в 11.25.

2.5. Продукция берется со склада, вмещающего 80 единиц складируемой продукции, в соответствии с пуассоновским потоком с интенсивностью 5 единиц продукции вдень.

а) вероятность того, что в течении первых двух дней со склада будет взято 10 единиц продукции;

б) вероятность того, что к концу четвертого дня на складе не останется ни одной единицы продукции.

§

3. Процесс гибели и размножения

Построим процесс гибели и размножения X (t ) «конструктивно».

Рассмотрим две последовательности и. Первая - отвечает за поступление клиентов в систему (размножение), а вторая - за обслуживание клиентов (гибель):

Кроме того, пусть заданы две независимые последовательности
независимых случайных величин с показательным распределением с параметром =1.

Процесс X (t) строится так. Пусть
, где
. Тогда на интервале
процесс X (t) сохранит свое значение , где
,

.

В момент t 1 значение процесса X (t ) либо увеличится, либо уменьшится на единицу в соответствии с тем, какой из двух моментов
наступит раньше:

Мы положили, таким образом, значение процесса X (t) в точке t 1 равным ; тогда эволюция процесса X (t ) на интервале
, где
и
, подчиняется тому же закону закону: X (t ) не меняется на этом интервале в момент t 2

увеличивается на единицу, если
, и уменьшается на единицу в противном случае.

Если же
, то значение процесса X (t ) увеличивается на единицу в случайный момент
.

Построенный таким образом процесс
, называется однородным по времени процессом гибели и размножения; его распределения полностью определяются набором параметров, и начальным распределением X(0):

Удобно использовать следующую диаграмму для представления развития процесса X (t):

Стрелочки сверху соответствуют динамике процесса размножения: из i -го состояния процесс переходит в (i +1)-е состояние с интенсивностью ; стрелочки снизу соответсвуют динамике процесса гибели: с интенсивностью процесс из i -го состояния переходит в (i -1)-е состояние.

Набор функций

описывает распределение процесса X (t ); ниже мы приведем систему уравнений, которым удовлетворяют эти функции.

Отметим, что не всякому набору параметров
отвечает «невырожденный» процесс X (t ); дело в том, что если числа растут очень быстро при
, то процесс X (t ) в конечный момент t может «взорваться», т.е. с положительной вероятностью превысить любой уровень и возрасти до
. Так ведут себя, например, популяция бактерий в благоприятной среде. Аналогично устроены процессы, описывающие химические реакции, приводящие к взрыву.

Процессы X (t ), для которых все
, относятся к так называемым процессам чистого размножения . Процессы, для которых
, называют процессами чистой гибели .

Следующая лемма дает необходимые и достаточные условия на параметры
, которые гарантируют конечность процесса чистого размножения
с параметрами .

Лемма . Пусть процесс чистого размножения с параметрами . Тогда для конечности процесса необходимо и достаточно, чтобы расходился ряд

Пусть X (t ) процесс гибели и размножения с теми же параметрами процесса , а также параметрами
. Очевидно, что

P(X (t )  )  P(X + (t )  ) .

Поэтому из леммы получаем следствие.

Следствие . Если для произвольного процесса гибели размножения X(t) выполнено условие
, то для любого
справедливо P(X(t)  ) = 1, т.е. процесс конечен.

Доказательство леммы можно найти в .

Задачи к § 3

3.1. Рассмотрим процесс гибели и размножения, для которого

Требуется изобразить диаграмму, отвечающую этому процессу.

3.2. Пусть клиенты, которые хотят получить справку по телефону, образуют простейший поток с параметром . Пусть каждый разговор длится -показательное время. Пусть X (t ) – число клиентов в системе в момент t. Изобразить диаграмму, отвечающую процессу X (t ).

3.3. Пусть в условиях задачи 3.2

телефон имеет память на одного клиента: если клиент звонит и телефон занят, но память телефона свободна, то автомат предлагает положить трубку и ждать звонка. Когда телефон освободится, звонок прозвучит;

имеется автоматический коммутатор и два телефона, у каждого телефона свой оператор: если в момент звонка клиента имеется свободный телефон, то коммутатор автоматически адресует клиента на этот телефон;

коммутатор (см п.2)) имеет память на одного клиента;

каждый телефон (см.п.2)) имеет память на одного клиента.

Для всех вышеперечисленных случаев изобразить диаграмму, отвечающему процессу X (t ).

3.4. Установить, являются ли конечными процессы чистого размножения со следующими интенсивностями размножения:

а)  k =k  +  ,  >0,  >0, k = 0, 1, ...

б)  0 = 1,  k +1 = (k +1) k , k = 0, 1, ...

в)  k =  k , k = 0, 1, ...  > 0.

§ 4. Дифференциальные уравнения, отвечающие процессу гибели и размножения

Предположим, что X (t ) – процесс гибели и размножения с характеристиками и. Пусть для некоторых конечных чисел A и B имеют место неравенства  i  A + Bi , i = 0, 1, ...Это условие гарантирует конечность процесса X (t ). При этом мы условимся, что в каждое состояние приходит верхняя стрелочка слева (даже в состояние 0), при этом интенсивность рождения λ может равняться нулю (например, λ –1 = = 0); из каждого состояния выходит нижняя стрелочка влево, и интенсивность гибели μ тоже может равняться нулю (например, λ –1 = 0). Доопределение таким образом диаграммы не меняет суть дела, однако в дальнейших рассуждениях будет полезно. Рассмотрим диаграмму, отвечающую нашему процессу X (t ):

Обозначим, как и ранее, через

P k (t ) = P (Х (t ) = k ), k = 0,1,…,

вероятности того, что в фиксированный момент t число клиентов X (t ) будет равно k.

Теорема 1. Характеристики процесса X (t ), определенное выше, удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений

где k = 0,1,…, и начальным условиям

Нелишне пояснить, что первая строка (при k = 0) системы уравнений (1) имеет вид

Доказательство. Обозначим через P k (t + Δ) = P (X (t + Δ) = k ).

Воспользуемся определением производной функции одной переменной:

.

Рассмотрим такие события:

A 0 (t , Δ) = {на отрезке [t , t +Δ] процесс X (t ) не совершил ни одного скачка};

A 1 (t , Δ) = {на отрезке [t , t +Δ] процесс X (t ) совершил ровно один скачок};

A 2 (t , Δ) = {на отрезке [t , t +Δ] процесс X (t ) совершил два скачка и более}.

Тогда очевидно, что

Обозначим далее через

; через
три показательные случайные величины с параметрами
. Пусть все эти величины независимы. Тогда верно Тогда очевидно, чтостационарном (установившемся) режиме. P k (t ) = P (в системе в момент t находится k клиентов).

Найдите решение системы дифференциальных уравнений, а также стационарные вероятности.

4.2. Для процессов гибели и размножения из задачи 3.3 выписать дифференциальные уравнения, связывающие вероятности P k (t ) = P (в системе в момент t находится k клиентов).

Найти стационарные вероятности.

L () - входной поток объектов, подлежащих обнаружению - интенсивность усилий поиска  

Для описания другой важнейшей составной части любой , - входного потока заявок, - обычно задают вероятностный закон, которому удовлетворяют длительности интервалов между двумя последовательно поступающими заявками. Эти длительности обычно являются статистически независимыми и их распределение не изменяется в течение некоторого достаточно продолжительного промежутка времени. Иногда встречаются системы, в которых заявки могут поступать группами (например, посетители в кафе). Обычно предполагается, что источник, из которого поступают заявки, практически  

распределением Пуассона , поэтому описанный нами входной поток заявок (в пашем случае - автомобилей) называют пуассоновским).  

Здесь аа, с - векторы A, G, С - матрицы коэффициентов у х - векторы выходных и входных потоков объекта и - вектор переменных, обеспечивающих диапазонную зависимость выходов от входов.  

Необходимо установить значение научных знаний в технологическом развитии. Воспринимать технологию как "применение научного знания" означает воспринимать последнее как феномен, происходящий вне рамок функционирования технологии как таковой. Здесь внимание концентрируется на "входных потоках" знаний (от науки), важных для производственных процессов . Такое представление о "получаемом знании" вступает в противоречие с многочисленными доказательствами того, что "технологические усовершенствования обычно происходят рапсе их научного осмысления".  

Рассмотрим условия бесперебойного функционирования поставщиков. Они выражаются как ограничения на случайный входной поток Qkl  

Модель а, предназначена для представления в ТП структуры агрегата (узла) и имитации его работы сменой состояний жизненного цикла как функции команд и событий, поступающих на него. При этом состояния жизненного цикла представляют операции, выполняемые узлом над входным потоком и состоянием узла (занят - свободен, исправен - неисправен). Модель узла включает функции (задачи) управления преобразованием потока, проходящего через узел, - функции регуляторов, защит, блокировок.  

На схеме дано изображение трех основных входных потоков (вода, пища и топливо) и трех выходных потоков (сточные воды , твердые отходы и загрязнения воздуха), которые являются общими для всех городов. В этой модели появляются величины, измеренные в натуральных единицах, а именно отходы производства по каждому виду загрязнителей. Это обстоятельство существенно меняет привычные свойства модели межотраслевого баланса , в которой все величины выражены в стоимостной форме.  

Входные потоки Процесс Выходные потоки  

Наличие входного потока означает необходимость разгрузки транспорта, проверки количества и качества прибывшего груза. Выходной поток обусловливает необходимость погрузки транспорта, внутренний - необходимость перемещения груза внутри склада.  

Смешение потоков. Рассмотрим первоначально случай, когда в системе смешиваются потоки чистых веществ, имеющих одинаковую температуру Т. Обозначим через Nk число молей k-ro вещества, поступающего в систему в единицу времени (мольный расход). Процесс смешения необратим, производство энтропии может быть найдено как разность между энтропией выходного и входных потоков. С учетом неизменности их энтальпии получим  

Функция (р зависит, как и F в выражении (1.79), от параметров входного потока и потока, обогащенного целевым компонентом  

Поскольку р

Ошибочные значения содержат константы и литералы. В разделе входные подобные ошибки встречаются во входных потоках информации пользователя и в файлах данных. Эти ошибки являются результатом несоответствия входных данных программным спецификациям . В разделе внутренние такие ошибки могут проявляться в виде констант или литералов, входящих в состав кода, инициализирующего некоторые вычисления.  

Работа пользователя-бухгалтера при решении задач состоит в выполнении на ПЭВМ повторяющихся технологических операций (команд), реализуемых в режиме активного диалога путем набора команд на клавиатуре, или в автоматическом (программном) режиме, при котором входной поток команд заранее сформирован в специальную программу (командный файл). В режиме активного диалога решаются разные заранее не предсказуемые задачи, выдача различной справочной, аналитической и другой информации по запросу и по мере необходимости.  

Помимо изложения математических схем имитационного моделирования в этой главе сопоставляются аналитическое и имитационное моделирование СМО с позиции адекватности моделируемому объекту. В результате такого сопоставления возникает важный вывод о том, что при аналитическом моделировании СМО реальных объектов результаты моделирования никогда не соответствуют поведению объекта, так как дают значения параметров СМО в установившемся режиме. Реальные же объекты, которые моделируются в виде СМО в установившемся режиме, как правило, не находятся, так как входные потоки и сами СМО постоянно меняют свои параметры и распределения, а следовательно, СМО все время находится в переходном режиме. Лишь имитационное моделирование СМО, не ограничивающее входные потоки требованиями стационарности, однородности, отсутствием по-  

Входной поток заявок (требований на обслуживание) характеризуется определенной организацией и рядом параметров (рис 5.1.1) интенсивностью поступления заявок, т.е. числом заявок, в среднем поступивших в единицу времени, и законом распределения вероятностей моментов прихода заявок в систему.  

Синхронизирующие моменты Рис. 5.1.1. Входной поток заявок  

Рассмотрим более детально характеристики входного потока заявок и простейшие СМО. Потоком однородных событий называют временную последовательность появления заявок на обслуживание при условии, что все заявки равноправны. Существуют также потоки неоднородных событий, когда та или иная заявка обладает каким-то приоритетом.  

Таким образом, для простейших потоков и элементарных СМО можно аналитически вычислить их качественные параметры. Реальные экономические объекты , как правило, представляют сложные СМО как по структуре, так и по входным потокам и параметрам. В большинстве случаев аналитические выражения для оценки качества СМО, моделирующих реальные экономические объекты и процессы, найти не удается. Применение имитационного метода к задачам массового обслуживания позволяет находить необходимые показатели качества для экономических систем любой сложности, если удается построить алгоритмы имитации каждой части СМО.  

Работа алгоритма заключается в многократном воспроизведении случайных реализаций процесса прихода заявок и процесса их обслуживания при фиксированных условиях задачи. Меняя условия задачи, параметры входных потоков и элементов СМО, можно получить качественные параметры данной СМО при тех или иных изменениях. Качественные параметры СМО типа вышеперечисленных для простейших входных потоков и элементарных СМО оцениваются путем статистической обработки величин, являющихся качественными показателями функционирования СМО.  

Это распределение принято называть распределением Пуассона , поэтому описанный нами входной поток заявок (в нашем случае - автомобилей) называют пуассоновским. Мы не собираемся излагать здесь вывод формул (2.1) и (2.2), читатель найдет его в книге Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей . - М. Наука, 1969.  

В данном примере мы рассмотрели самый простой случай пуассоновский входной поток, экспоненциальное время обслуживания , одна обслуживающая установка. На самом деле, в реальности, и распределения бывают значительно сложнее, и АЗС включают в себя большее число бензоколонок. Для того чтобы упорядочить классификацию систем массового обслуживания , американский математик Д. Кен-далл предложил удобную систему обозначений, широко распространившуюся к настоящему времени. Тип системы массового обслуживания Кендалл обозначил с помощью трех символов, первый из которых описывает тип входного потока, второй - тип вероятностного описания системы обслуживания , а третий - количество обслуживающих приборов. Символом М он обозначал пуассоновское распределение входного потока (с экспоненциальным распределением интервалов между заявками), этот же символ применялся и для экспоненциального распределения продолжительности обслуживания. Таким образом, описанная и изученная в этом параграфе система массового обслуживания имеет обозначение М/М/1. Система M/G/3, например, расшифровывается как система с пуассоновским входным потоком, общей (по-английски - general) функцией распределения времени обслуживания и тремя обслуживающими устройствами. Встречаются и другие обозначения D -детерминированное распределение интервалов между поступлением заявок или длительностей обслуживания, Е - распределение Эрланга порядка п и т. д.  эффективности затрат). И для этого необходима комплексная экспертиза, которая невозможна без скрупулезного, глубокого и детального анализа внутренней структуры проекта , позволяющего прокалькулировать производимые затраты и исчислить (описать) предполагаемые выгоды. Тогда проект перестает быть "черным ящиком ", а рассматривается как экономическая система . Под экономической системой обычно понимают комплекс взаимосвязанных элементов, каждый из которых сам может рассматриваться как система.  

Однако, есть один ключевой компонент, который не учитывался в этом анализе прирост производительности. Вспомним, что производительность труда определяется , как реальная продукция, произведенная за час работы. Точно так же полный фактор производительности определяется как реальная продукция в единицу совокупности всех входных параметров. Полный фактор производительности отражает, частично, общую эффективность, с которой входные параметры преобразуются в продукцию. Это часто связывается с технологией, но также отражает и воздействие множества других факторов , подобных экономии на масштабе, любых неучтенных входных параметров, перераспределений ресурсов и так далее. Когда производительность растет, рост экономики (ВНП) может быть больше, чем рост разницы между количествами притекающими (расходы правительства и экспорт) и вытекающими (налоги и импорт), потому что большее количество продукции на единицу входного потока создает новое богатство на агрегированном уровне. Как следствие, представляется, что аргументы Годли нельзя применять напрямую.  

МГЦ-бхобящий б логистическую систему материальный поток (Входной поток)  

Из приведенных соотношений можно сделать следующий вывод для заданной конструкции колонны бинарной ректификации, определяющей коэффициенты тепло- и массопереноса, заданных составов потоков на входе и выходе и производительности колонны расход пара, флегмовое число и затраты тепла, подаваемого в куб, фиксированы и могут быть найдены по приведенным выше соотношениям. Если же заданы составы лишь входного потока, одного из потоков на выходе и производительность по целевому потоку, то может быть выбрана доля отбора (концентрация второго потока на выходе), минимизирующая затраты энергии на разделение.  

КАНАЛ (обслуживания) (hannel, server) - одно из фундаментальных понятий массового обслуживания теории , обозначающее функциональный элемент, непосредственно выполняющий заявку, поступившую в массового обслуживания систему Это понятие в зависимости от специфики системы может иметь самые разл интерпретации, напр, к-л прибор, линия связи , принимающая поступающие требования, кран-штабелер, комплектующий заказы на складе, и т п Случайный характер входного потока заявок обусловливает неравномерность загрузки К в какой-то момент времени они могут быть пере-  

При решении задач управления, в том числе и управления войсками, часто возникает ряд однотипных задач:

• оценка пропускной способности направления связи, железнодорожного узла, госпиталя и т. п.;
• оценка эффективности ремонтной базы;
• определение количества частот для радиосети и др.

Все эти задачи однотипны в том смысле, что в них присутствует массовый спрос на обслуживание. В удовлетворении этого спроса участвует определенная совокупность элементов, образующая систему массового обслуживания (СМО) (рис. 2.9).

Элементами СМО являются:

• входной (входящий) поток требований (заявок) на обслуживание;
• приборы (каналы) обслуживания;
• очередь заявок , ожидающих обслуживания;
• выходной ( выходящий) поток обслуженных заявок;
• поток не обслуженных заявок;
• очередь свободных каналов (для многоканальных СМО).

Входящий поток - это совокупность заявок на обслуживание. Часто заявка отождествляется с ее носителем. Например, поток неисправной радиоаппаратуры, поступающий в мастерскую объединения, представляет собой поток заявок - требований на обслуживание в данной СМО.

Как правило, на практике имеют дело с так называемыми рекуррентными потоками, - потоками, обладающими свойствами:

• стационарности;
• ординарности;
• ограниченного последействия.

Первые два свойства мы определили ранее. Что касается ограниченного последействия, то оно заключается в том, что интервалы между поступающими заявками являются независимыми случайными величинами.

Рекуррентных потоков много. Каждый закон распределения интервалов порождает свой рекуррентный поток . Рекуррентные потоки иначе называют потоками Пальма.

Поток с полным отсутствием последействия, как уже отмечалось, называется стационарным пуассоновским. У него случайные интервалы между заявками имеют экспоненциальное распределение:

здесь - интенсивность потока.

Название потока - пуассоновский - происходит от того, что для этого потока вероятность появления заявок за интервал определяется законом Пуассона:

Поток такого типа, как отмечалось ранее, называют также простейшим. Именно такой поток предполагают проектировщики при разработке СМО. Вызвано это тремя причинами.

Во-первых , поток этого типа в теории массового обслуживания аналогичен нормальному закону распределения в теории вероятностей в том смысле, что к простейшему потоку приводит предельный переход для потока, являющегося суммой потоков с произвольными характеристиками при бесконечном увеличении слагаемых и уменьшении их интенсивности. То есть сумма произвольных независимых (без преобладания) потоков с интенсивностями является простейшим потоком с интенсивностью

Во-вторых , если обслуживающие каналы (приборы) рассчитаны на простейший поток заявок, то обслуживание других типов потоков (с той же интенсивностью) будет обеспечено с не меньшей эффективностью.

В-третьих , именно такой поток определяет марковский процесс в системе и, следовательно, простоту аналитического анализа системы. При других потоках анализ функционирования СМО сложен.

Часто встречаются системы, у которых поток входных заявок зависит от количества заявок, находящихся в обслуживании. Такие СМО называют замкнутыми (иначе - разомкнутыми ). Например, работа мастерской связи объединения может быть представлена моделью замкнутой СМО. Пусть эта мастерская предназначена для обслуживания радиостанций, которых в объединении . Каждая из них имеет интенсивность отказов . Входной поток отказавшей аппаратуры будет иметь интенсивность :

где - количество радиостанций, уже находящихся в мастерской на ремонте.

Заявки могут иметь разные права на начало обслуживания. В этом случае говорят, что заявки неоднородные . Преимущества одних потоков заявок перед другими задаются шкалой приоритетов.

Важной характеристикой входного потока является коэффициент вариации :

где - математическое ожидание длины интервала;

Среднеквадратическое отклонение случайной величины (длины интервала) .

Для простейшего потока

Для большинства реальных потоков .

При поток регулярный, детерминированный.

Коэффициент вариации - характеристика, отражающая степень неравномерности поступления заявок.

Каналы (приборы) обслуживания . В СМО могут быть один или несколько обслуживающих приборов (каналов). Согласно с этим СМО называют одноканальными или многоканальными.

Многоканальные СМО могут состоять из однотипных или разнотипных приборов. Обслуживающими приборами могут быть:

• линии связи;
• мастера ремонтных органов;
• взлетно-посадочные полосы;
• транспортные средства;
• причалы;
• парикмахеры, продавцы и др.

Основная характеристика канала - время обслуживания. Как правило, время обслуживания - величина случайная.

Обычно практики полагают, что время обслуживания имеет экспоненциальный закон распределения:

где - интенсивность обслуживания, ;

Математическое ожидание времени обслуживания.

То есть процесс обслуживания - марковский, а это, как теперь нам известно, дает существенные удобства в аналитическом математическом моделировании.

Кроме экспоненциального встречаются -распределение Эрланга, гиперэкспоненциальное, треугольное и некоторые другие. Это нас не должно смущать, так как показано, что значение критериев эффективности СМО мало зависят от вида закона распределения вероятностей времени обслуживания.

При исследовании СМО выпадает из рассмотрения сущность обслуживания, качество обслуживания .

Каналы могут быть абсолютно надежными , то есть не выходить из строя. Вернее, так может быть принято при исследовании. Каналы могут обладать конечной надежностью . В этом случае модель СМО значительно сложнее.

Очередь заявок . В силу случайного характера потоков заявок и обслуживания пришедшая заявка может застать канал (каналы) занятым обслуживанием предыдущей заявки. В этом случае она либо покинет СМО не обслуженной, либо останется в системе, ожидая начало своего обслуживания. В соответствии с этим различают:

• СМО с отказами;
• СМО с ожиданием.

СМО с ожиданием характеризуются наличием очередей. Очередь может иметь ограниченную или неограниченную емкость: .

Исследователя обычно интересуют такие статистические характеристики, связанные с пребыванием заявок в очереди:

• среднее количество заявок в очереди за интервал исследования;
• среднее время пребывания (ожидания) заявки в очереди. СМО с ограниченной емкостью очереди относят к СМО смешанного типа.

Нередко встречаются СМО, в которых заявки имеют ограниченное время пребывания в очереди независимо от ее емкости. Такие СМО также относят к СМО смешанного типа.

Выходящий поток - это поток обслуженных заявок, покидающих СМО.

Встречаются случаи, когда заявки проходят через несколько СМО: транзитная связь , производственный конвейер и т. п. В этом случае выходящий поток является входящим для следующей СМО. Совокупность последовательно связанных между собой СМО называют многофазными СМО или сетями СМО .

Входящий поток первой СМО, пройдя через последующие СМО, искажается и это затрудняет моделирование . Однако следует иметь в виду, что при простейшем входном потоке и экспоненциальном обслуживании (то есть в марковских системах) выходной поток тоже простейший . Если время обслуживания имеет не экспоненциальное распределение, то выходящий поток не только не простейший, но и не рекуррентный.

Заметим, что интервалы между заявками выходящего потока, это не то же самое, что интервалы обслуживания. Ведь может оказаться, что после окончания очередного обслуживания СМО какое-то время простаивает из-за отсутствия заявок. В этом случае интервал выходящего потока состоит из времени незанятости СМО и интервала обслуживания первой, пришедшей после простоя, заявки.