Распределение парето. Индивидуальное распределение, его свойства и методы анализа

Распределе́ние Паре́то в теории вероятностей - двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений , являющихся степенными. Называется по имени Вилфредо Парето . Встречается при исследовании различных явлений, в частности, социальных, экономических, физических и других . Вне области экономики иногда называется также распределением Брэдфорда.

Определение

Пусть случайная величина X {\displaystyle X} такова, что её распределение задаётся равенством:

F X (x) = P (X < x) = 1 − (x m x) k , ∀ x ≥ x m {\displaystyle F_{X}(x)=P(X,

где x m , k > 0 {\displaystyle x_{m},k>0} . Тогда говорят, что X {\displaystyle X} имеет распределение Парето с параметрами x m {\displaystyle x_{m}} и k {\displaystyle k} . , . Его правило 20 к 80 (которое гласит: 20% популяции владеет 80% богатства) однако зависит от конкретной величины k , и утверждается, что фактически встречаются существенные количественные отклонения, например, данные самого Парето по Британии в Cours d"économie politique говорят, что там примерно 30% населения владеет 70% общего дохода.

Распределение Парето встречается не только в экономике. Можно привести следующие примеры.

{{{mean}}} Медиана {{{median}}} Мода {{{mode}}} Дисперсия {{{variance}}} Коэффициент асимметрии {{{skewness}}} Коэффициент эксцесса {{{kurtosis}}} Дифференциальная энтропия {{{entropy}}} Производящая функция моментов {{{mgf}}} Характеристическая функция {{{char}}} | cdf =

1-\left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^k

| mean =

\frac{\,kx_\mathrm{m}}{k-1}

, если

k>1

| median =

x_\mathrm{m} \sqrt[k]{2}

| mode =

x_\mathrm{m}

| variance =

\left(\frac{x_\mathrm{m}}{k-1}\right)^2\frac{k}{k-2}

при

k>2

| skewness =

\frac{2(1+k)}{k-3}\,\sqrt{\frac{k-2}{k}}

при

k>3

| kurtosis =

\frac{6(k^3+k^2-6k-2)}{k(k-3)(k-4)}

при

k>4

| entropy =

\ln\left(\frac{k}{x_\mathrm{m}}\right) - \frac{1}{k} - 1

| mgf =не определена| char =

k\left(\Gamma(-k)(x_\mathrm{m}^k(-it)^k-(-ix_\mathrm{m}t)^k)+\right.

$\left.+E_\mathrm{k+1}(-ix_\mathrm{m}t)\right)$ |notation = $P(k, x_m)$ }} Распределе́ние Паре́то в теории вероятностей - двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений , являющихся степенными. Называется по имени Вилфредо Парето . Встречается при исследовании различных явлений, в частности, социальных, экономических, физических и других . Вне области экономики иногда называется также распределением Брэдфорда.

Определение

Пусть случайная величина $X$ такова, что её распределение задаётся равенством:

$F_X(x)=P(X,$

где $x_m,k>0$ . Тогда говорят, что $X$ имеет распределение Парето с параметрами $x_m$ и $k$ . Плотность распределения Парето имеет вид:

$f_X(x) = \left\{
\begin{matrix}
\frac{kx_m^k}{x^{k+1}}, & x \ge x_m \\
0, & x < x_m
\end{matrix}
\right..$

Моменты

Моменты случайной величины , имеющей распределение Парето, задаются формулой:

$\mathbb{E}\left = \frac{kx_m^n}{k-n}$ ,

откуда в частности:

$\mathbb{E}[X] = \frac{kx_m}{k-1}$ , $\mathrm{D}[X] = \left(\frac{x_m}{k-1}\right)^2 \frac{k}{k-2}$ .

Приложения

Вилфредо Парето изначально использовал это распределение для описания распределения благосостояния, а также распределения дохода . Его правило 20 к 80 (которое гласит: 20% популяции владеет 80 % богатства) однако зависит от конкретной величины k , и утверждается, что фактически встречаются существенные количественные отклонения, например, данные самого Парето по Британии в Cours d"économie politique говорят, что там примерно 30 % населения владеет 70 % общего дохода.

Распределение Парето встречается не только в экономике. Можно привести следующие примеры:

См. также

Напишите отзыв о статье "Распределение Парето"

Примечания

	п Вероятностные распределения
	Одномерные	Многомерные
Дискретные:	Бернулли \| Биномиальное \| Геометрическое \| Гипергеометрическое \| Логарифмическое \| Отрицательное биномиальное \| Пуассона \| Дискретное равномерное	Мультиномиальное
Абсолютно непрерывные:	Бета \| Вейбулла \| Гамма \| Гиперэкспоненциальное \| Распределение Гомпертца \| Колмогорова \| Коши \| Лапласа \| Логнормальное \| Нормальное (Гаусса) \| Логистическое \| Накагами \| Парето \| Пирсона \| Полукруговое \| Непрерывное равномерное \| Райса \| Рэлея \| Стьюдента \| Трейси - Видома \| Фишера \| Хи-квадрат \| Экспоненциальное \| Variance-gamma	Многомерное нормальное \| Копула

Отрывок, характеризующий Распределение Парето

Он привстал, желая обойти, но тетушка подала табакерку прямо через Элен, позади ее. Элен нагнулась вперед, чтобы дать место, и, улыбаясь, оглянулась. Она была, как и всегда на вечерах, в весьма открытом по тогдашней моде спереди и сзади платье. Ее бюст, казавшийся всегда мраморным Пьеру, находился в таком близком расстоянии от его глаз, что он своими близорукими глазами невольно различал живую прелесть ее плеч и шеи, и так близко от его губ, что ему стоило немного нагнуться, чтобы прикоснуться до нее. Он слышал тепло ее тела, запах духов и скрып ее корсета при движении. Он видел не ее мраморную красоту, составлявшую одно целое с ее платьем, он видел и чувствовал всю прелесть ее тела, которое было закрыто только одеждой. И, раз увидав это, он не мог видеть иначе, как мы не можем возвратиться к раз объясненному обману.
«Так вы до сих пор не замечали, как я прекрасна? – как будто сказала Элен. – Вы не замечали, что я женщина? Да, я женщина, которая может принадлежать всякому и вам тоже», сказал ее взгляд. И в ту же минуту Пьер почувствовал, что Элен не только могла, но должна была быть его женою, что это не может быть иначе.
Он знал это в эту минуту так же верно, как бы он знал это, стоя под венцом с нею. Как это будет? и когда? он не знал; не знал даже, хорошо ли это будет (ему даже чувствовалось, что это нехорошо почему то), но он знал, что это будет.
Пьер опустил глаза, опять поднял их и снова хотел увидеть ее такою дальнею, чужою для себя красавицею, какою он видал ее каждый день прежде; но он не мог уже этого сделать. Не мог, как не может человек, прежде смотревший в тумане на былинку бурьяна и видевший в ней дерево, увидав былинку, снова увидеть в ней дерево. Она была страшно близка ему. Она имела уже власть над ним. И между ним и ею не было уже никаких преград, кроме преград его собственной воли.
– Bon, je vous laisse dans votre petit coin. Je vois, que vous y etes tres bien, [Хорошо, я вас оставлю в вашем уголке. Я вижу, вам там хорошо,] – сказал голос Анны Павловны.
И Пьер, со страхом вспоминая, не сделал ли он чего нибудь предосудительного, краснея, оглянулся вокруг себя. Ему казалось, что все знают, так же как и он, про то, что с ним случилось.
Через несколько времени, когда он подошел к большому кружку, Анна Павловна сказала ему:
– On dit que vous embellissez votre maison de Petersbourg. [Говорят, вы отделываете свой петербургский дом.]
(Это была правда: архитектор сказал, что это нужно ему, и Пьер, сам не зная, зачем, отделывал свой огромный дом в Петербурге.)
– C"est bien, mais ne demenagez pas de chez le prince Ваsile. Il est bon d"avoir un ami comme le prince, – сказала она, улыбаясь князю Василию. – J"en sais quelque chose. N"est ce pas? [Это хорошо, но не переезжайте от князя Василия. Хорошо иметь такого друга. Я кое что об этом знаю. Не правда ли?] А вы еще так молоды. Вам нужны советы. Вы не сердитесь на меня, что я пользуюсь правами старух. – Она замолчала, как молчат всегда женщины, чего то ожидая после того, как скажут про свои года. – Если вы женитесь, то другое дело. – И она соединила их в один взгляд. Пьер не смотрел на Элен, и она на него. Но она была всё так же страшно близка ему. Он промычал что то и покраснел.
Вернувшись домой, Пьер долго не мог заснуть, думая о том, что с ним случилось. Что же случилось с ним? Ничего. Он только понял, что женщина, которую он знал ребенком, про которую он рассеянно говорил: «да, хороша», когда ему говорили, что Элен красавица, он понял, что эта женщина может принадлежать ему.
«Но она глупа, я сам говорил, что она глупа, – думал он. – Что то гадкое есть в том чувстве, которое она возбудила во мне, что то запрещенное. Мне говорили, что ее брат Анатоль был влюблен в нее, и она влюблена в него, что была целая история, и что от этого услали Анатоля. Брат ее – Ипполит… Отец ее – князь Василий… Это нехорошо», думал он; и в то же время как он рассуждал так (еще рассуждения эти оставались неоконченными), он заставал себя улыбающимся и сознавал, что другой ряд рассуждений всплывал из за первых, что он в одно и то же время думал о ее ничтожестве и мечтал о том, как она будет его женой, как она может полюбить его, как она может быть совсем другою, и как всё то, что он об ней думал и слышал, может быть неправдою. И он опять видел ее не какою то дочерью князя Василья, а видел всё ее тело, только прикрытое серым платьем. «Но нет, отчего же прежде не приходила мне в голову эта мысль?» И опять он говорил себе, что это невозможно; что что то гадкое, противоестественное, как ему казалось, нечестное было бы в этом браке. Он вспоминал ее прежние слова, взгляды, и слова и взгляды тех, кто их видал вместе. Он вспомнил слова и взгляды Анны Павловны, когда она говорила ему о доме, вспомнил тысячи таких намеков со стороны князя Василья и других, и на него нашел ужас, не связал ли он уж себя чем нибудь в исполнении такого дела, которое, очевидно, нехорошо и которое он не должен делать. Но в то же время, как он сам себе выражал это решение, с другой стороны души всплывал ее образ со всею своею женственной красотою.

В ноябре месяце 1805 года князь Василий должен был ехать на ревизию в четыре губернии. Он устроил для себя это назначение с тем, чтобы побывать заодно в своих расстроенных имениях, и захватив с собой (в месте расположения его полка) сына Анатоля, с ним вместе заехать к князю Николаю Андреевичу Болконскому с тем, чтоб женить сына на дочери этого богатого старика. Но прежде отъезда и этих новых дел, князю Василью нужно было решить дела с Пьером, который, правда, последнее время проводил целые дни дома, т. е. у князя Василья, у которого он жил, был смешон, взволнован и глуп (как должен быть влюбленный) в присутствии Элен, но всё еще не делал предложения.
«Tout ca est bel et bon, mais il faut que ca finisse», [Всё это хорошо, но надо это кончить,] – сказал себе раз утром князь Василий со вздохом грусти, сознавая, что Пьер, стольким обязанный ему (ну, да Христос с ним!), не совсем хорошо поступает в этом деле. «Молодость… легкомыслие… ну, да Бог с ним, – подумал князь Василий, с удовольствием чувствуя свою доброту: – mais il faut, que ca finisse. После завтра Лёлины именины, я позову кое кого, и ежели он не поймет, что он должен сделать, то уже это будет мое дело. Да, мое дело. Я – отец!»

На глобальном уровне экономический механизм распределения проходит две стадии: с одной стороны, факторы производства получают вознаграждение, соответствующее их роли в производстве; с другой стороны, перераспределяются доходы, образовавшиеся в связи с производством, причем здесь действует уже не принцип “каждому по его вкладу”, а принцип “каждому по потребностям”.

В первом случае речь идет о функциональном, а во втором - об индивидуальном распределении.

В ходе индивидуального распределения различаются отдельные элементы дохода человека: а) вознаграждение, которое субъект получает за представленные им производственные услуги, связанные с землей, трудом, капиталом; б) доходы, которые могут быть предоставлены индивиду на основаниях, не связанных с его вкладом в производство (семейные пособия, пенсии, пособия по безработице).

Факторами индивидуального распределения являются норма оплаты ресурсов производства, их распределение среди членов общества, политика перераспределения доходов среди членов общества.

Важнейшая проблема индивидуального распределения - проблема неравенства личных доходов людей.

Существует четыре подхода к измерению неравенства.

1. Наиболее простым выражением дифференциации доходов служит статистический ряд распределения населения по величине получаемого дохода. На основании полученного ряда распределения рассчитываются статистические характеристики: среднее значение дохода (Х), мода (М 0) - наиболее частая величина дохода; дисперсия (характеристика разброса случайной величины около ее математического ожидания) и др.

2. Формула Парето

где Х - уровень дохода;

N- количество лиц, получающих доходы, равные или превышающие Х;

А, - константы, вычисляемые статистически.

Чем больше , чем круче наклон линии, тем слабее неравенство в доходах.

3. Формула Каррадо Джини

где N - количество лиц, получающих доходы, превышающие определенный уровень Х;

Р, А - константы.

Крутизна падения служит показателем степени неравенства в распределении доходов. Чем меньше a , тем больше неравенство.

4. Кривая Лоренца. Его методика наиболее широко применяется для измерения неравенства доходов.

График 30. Кривая Лоренца

На вертикальной оси отмечают процентное распределение национального дохода, на горизонтальной оси Х - доли людей, получающих этот доход. При равном распределении дохода образуется прямая линия, идущая по диагонали от точки О к точке А. Если же доход распределяется неравным образом, то это отражает линия, соединяющая указанные точки. Она тем более будет вогнута в сторону, противоположную от абсциссы, чем выше степень неравенства в сфере распределения. Поделив площадь между линиями совершенного равенства и фактического распределения дохода на половину площади прямоугольника, отражающего процентное распределение дохода и людей, получающих эти доходы, получим так называемый коэффициент Джинни. Чем он больше, тем больше неравенство.

На основе изучения статистики ряд стран Парето установил, что распределение доходов выше определенной величины сохраняет значительную устойчивость. Этой ситуации отвечает наклон линии в уравнении Парето, равный примерно 1,5.

График 31. Закон распределения Парето

На графике 31 по оси абсцисс откладываются доходы, по оси ординат - группы населения, их получающие. Кривая авdс показывает распределение населения по уровню дохода. После некоторой величины дохода Х 1 распределение населения по уровню дохода чрезвычайно устойчиво и соответствует наклону оси 1,5. Парето не распространял действие закона на область доходов ниже величины Х 1 , а также на область самых высоких доходов. Парето считал, что в основе открытого им закона лежит неравномерное распределение природных человеческих способностей, поэтому, по его мнению, любые социальные преобразования, призванные изменить принцип распределения, будут безуспешны 14 .

Как взаимодействуют между собой индивидуальное распределение и экономический рост?

На примере промышленной революции можно выделить типичную последовательность стадий эволюции распределения индивидуальных доходов.

Первая стадия соответствует переходному периоду от доиндустриальной фазы экономического развития к индустриальной. В этот период неравенство доходов значительно возрастает.

Вторая стадия соответствует освоению промышленной революции. В этот период неравенство стабилизируется.

Третья стадия соответствует нарастанию элементов постиндустриального развития. В этот период неравенство уменьшается.

В настоящее время в пользу усиления неравенства действуют такие факторы, как концентрация сбережений классами с высокими доходами, миграция населения из деревень в города. В пользу сокращения неравенства действуют:

1) политические меры, которые уменьшают права собственности, наследования или производительность капитала (снижают уровень квартплаты или нормы процента);

2) более низкие показатели демографического роста в группах с высокими доходами;

3) появление новых отраслей промышленности, которые вызывают сокращение доходов богатых классов, связанных c традиционными отраслями;

4) растущая сфера обслуживания, которая благоприятствует классам, имеющим низкие доходы 15 .

Распределение - фаза общественного воспроизводства, определяющая долю факторов производства в национальном доходе, а также групп людей, различающихся по размерам доходов.

Распределение имеет собственные закономерности (например, в результате распределения предельная полезность благ для одной группы людей падает, а для другой – возрастает) и может явиться причиной стагнации и упадка производства.

***

См.: Пезенти А. Очерки политической экономии. Т.2. М.: Прогресс, 1976. С.795; Мюрдаль Г. Современные проблемы третьего мира. М.: Прогресс, 1972. С.636-692; Блауг М. Экономическая мысль в ретроспективе. М.: Дело. ЛТД, 1994. С.153-156.

2 См.: Математика и кибернетика в экономике: Словарь справочник / Ред. колл. Н.П.Федоренко, Л.В.Канторович и др. М.: Экономика, 1975. С.456-457.

3 Барр Р. Политическая экономия. Т. 1. М.: Междунар. отношения, 1995. С.427-428.

4 Там же.

5 Там же. Т.2. С.228-232.

6 См.: Блауг М . Экономическая мысль в ретроспективе. М.: Дело. ЛТД, 1994. С.44.

7 Барр Р. Политическая экономия. М.: Междунар. отношения, Т.2. 1995. С.9.

8 Там же.

9 См.: Народное хозяйство СССР в 1990 году. М.: Финансы и статистика, 1991. С.9.

10 Там же. С.113.

11 Маркс К. Капитал. Т.1. М.: Политиздат, 1978. С.722-733.

12 См.: Барр Р. Политическая экономия. М.: Междунар. отношения. 1995. Т.2. С.16-44.

13 Там же. С.16-44.

14 Экономическая энциклопедия. М.: Энциклопедия, 1979. С.206.

15 Барр Р. Указ. соч. С.253-254.

Распределение Парето

Перейдем от выражения для кривой Парето (1.2) к распределению Парето случайной величины х (в вышерассмотренных примерах - это величина доходов) в терминах теории вероятностей и математической статистики.

Сначала перейдем к вероятностной интерпретации величины лиц, имеющих доход Х не ниже данного х , представленный (1.2), поделив это выражение на общее количество Y населения, получающего доход не ниже х .

Учитывая, что по закону Парето, как было указано ранее, доходы (или другая случайная величина) начинают распределяться, начиная с некоторого значения х 0 , необходимо ввести эту переменную в (1.7), несмотря на то, что ранее мы от нее избавились для удобства. Это можно сделать проведя нормировку х на х 0 :

Проведем замену:

тогда: . (1.9)

Но в теории вероятностей принято рассматривать не вероятность выраженную (1.9), а так называемую функцию распределения случайной величины, которая представляет собой дополнение (1.9) до единицы. Функция распределения F (x), определяющая вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше данного х , для распределения Парето имеет вид:

Соответствующая плотность вероятности р (х) находится как производная функции распределения и определяет вероятность того, что случайная величина примет значение равное х . Для распределения Парето плотность вероятности определяется выражением:

Распределения, подобные распределению Парето в том плане, что они ограничены с одной стороны значениями, которые может принимать случайная величина, называются усеченными распределениями. Обычно они применяются в исследованиях, когда важна динамика поведения не всей совокупности исследуемых объектов, а лишь некоторой ее части или даже хвоста распределения, либо если часть совокупности распределена по одному закону, а часть - по другому.

Рассмотрим важную характеристику распределения Парето, определяющую области его применения в исследованиях. Для этого найдем математическое ожидание данного распределения:

Таким образом, можно видеть, что математическое ожидание распределения Парето может быть конечно либо бесконечно в зависимости от параметра. Как уже было указано ранее, в экономических исследованиях распределения доходов выполняется условие, таким образом существует возможность найти математическое ожидание (средний уровень доходов, распределенных по закону Парето). Второй случай распределения Парето при представляет собой распределение с тяжелым хвостом (понятие рассматривается далее) и нашел применение в теории катастроф в качестве распределения, по которому определяется вероятность наступления редких, но значительных по масштабам, событий.

Рассмотрим еще одну интересную характеристику, которая определяет сумму накопленных значений х случайной величины, обозначим ее, (в рассмотренных ранее примерах это общее количество дохода всех лиц, попадающих в заданный интервал по доходу) между значениями х 1 и х 2 . Эту величину можно определить следующим образом:

При этом она будет тем точнее отображать реальность, чем больше будет расстояние между х 1 и х 2 . Понятно, что при поведение этой функции будет зависеть от параметра таким же образом, как и выше найденное математическое ожидание.

При использовании данной функции для расчета, например, суммарного дохода лиц, которые получают доход от некоторого значения х 1 до максимального дохода, получаемого в стране одним человеком, х max , целесообразней принять в качестве х 2 это значение х max которое можно выразить так:

где - значения, которые принимает случайная величина, в рассматриваемом примере - доход, в каждом конкретном случае.

Выражение (1.14) можно применять, если имеется необходимая информация о максимальном значении х max . При этом суммарный эффект (1.13) будет конечным при любом значении параметра и выражение (1.13) можно использовать для прогнозирования суммарных эффектов случайной величины х , распределенной по закону Парето, даже если это распределение имеет тяжелый хвост. Опишем, как можно сделать выражение (1.13) еще более эффективным при анализе указанных случайных величин. Предположим (а можно утверждать это с большой долей уверенности) что величина х max зависит от количества произошедших событий или наблюдаемых объектов п . А оно в свою очередь, конечно, зависти от времени t , таким образом получаем:

Логично было бы так же предположить, что от времени зависит и параметр и A (это наверняка справедливо для экономических и социальных явлений, а, возможно, и для природных):

Теперь можем переписать (1.13) для х max и x 0 в виде:

Имея достаточное количество статистических данных можно рассчитать вид и параметры (1.15) и (1.16). Таким образом мы получим динамическую модель, описывающую накопленный суммарный эффект случайной величины, распределенной по закону Парето

Устойчивое распределение Парето - это на самом деле целый класс распределений, которые иногда называют распределениями Парето-Леви. Функция плотности вероятности N"(U) задается следующим образом:

где U - переменная устойчивого распределения;

А - параметр эксцесса распределения;

В - параметр асимметрии распределения;

D - параметр расположения распределения;

V - параметр ширины; i - мнимая единица, -1 л (1/2);

ABS() - функция абсолютного значения; tan() - функция тангенса;

1п() - функция натурального логарифма.

Границами параметров уравнения (В.31) являются:

Четыре параметра распределения А, В, D и V позволяют распределению принимать множество различных форм.

Переменная А определяет высоту хвостов распределения, т. е. можно сказать, что А выражает переменную эксцесса распределения. Переменная А также называется характеристическим показателем распределения. Когда А = 2, распределение является нормальным, когда А = 1, распределение является распределением Коши. При значениях А 1.

Переменная В является коэффициентом асимметрии. Когда В = 0, распределение симметрично. Чем больше асимметрия, тем больше абсолютное значение В. Отметьте, что, когда А = 2, W(U, А) = 0, ив этом случае В не влияет на распределение. Когда А = 2, не важно, чему равно В, распределение все равно симметричное и нормальное. Параметр ширины V иногда выражается как функция переменной А: V = С л А, поэтому С = V л (1/А). Когда А = 2, V равно половине дисперсии. Когда А = 1 (для распределения Коши), V равно семиинтерквартиль- ной широте. D - это параметр расположения. Когда А = 2, среднее арифметическое является несмещенной оценкой D; когда А = 1, то средним арифметическим является медиана.

Функций распределения устойчивого распределения Парето не существует. По этой причине оценка параметров данного распределения затруднена, и работа с распределением проблематична. Интересно отметить, что параметры А, В, С и D устойчивого распределения Парето соответствуют четвертому, третьему, второму и первому моментам распределения соответственно, что позволяет с помощью устойчивого распределения Парето моделировать разные типы реальных распределений, особенно в тех случаях, когда хвосты распределения толще, чем при нормальном распределении или при бесконечной дисперсии (когда А

Бесконечная дисперсия делает центральную предельную теорему неприменимой к данным, которые распределяются в соответствии с устойчивым распределением Парето, когда А

Одна из основных характеристик устойчивого распределения Парето состоит в том, что оно инвариантно относительно сложения, т.е. сумма независимых переменных (распределенных согласно устойчивому распределению Парето) с характеристическим показателем А будет распределена подобным образом, причем с достаточно близким по величине характеристическим показателем. Таким образом, мы имеем обобщенную центральную предельную теорему, которая совпадает с центральной предельной теоремой, за тем исключением, что предельной формой распределения является устойчивое распределение Парето, а не нормальное распределение, и теорема верна, даже если данные имеют бесконечную дисперсию (т. е. А

Именно эта обобщенная центральная предельная теорема позволяет использовать устойчивое распределение Парето для моделирования изменений цены .

Многие исследователи пытались классифицировать различные распределения вероятности. Без сомнения, многого добился в этой области Карл Пирсон, но, пожалуй, самая исчерпывающая работа по классификации наиболее известных распределений вероятности была представлена Фрэнком Гейтом . «Указатель» Гейта освещает почти все известные распределения, информация о которых была опубликована до января 1958 г. Гейт перечисляет большинство математических функций, связанных с распределениями. Что еще более важно, в его работе даны ссылки на книги и статьи, чтобы читатель мог найти публикации для получения более подробной информации относительно интересующего его распределения. В указателе Гейта распределения классифицируются (всего он приводит десять видов):

1. Нормальное.
2. Тип III.
3. Биномиальное.
4. Дискретное.
5. Распределения (А, В).
6. Распределения (0, +оо).
7. Распределения (-оо, +оо).
8. Прочие одномерные распределения.
9. Прочие двумерные распределения.
10. Прочие многомерные распределения.

Из всех распределений, которые мы рассмотрели в данном приложении, хи- квадрат и экспоненциальное распределение отнесены Гейтом к типу III. Биномиальное, геометрическое и распределение Бернулли отнесены к биномиальным. Распределение Пуассона и гипергеометрическое распределение отнесены к дискретным распределениям. Равномерное распределение относится к распределениям (А, В). F-распределение, а также распределение Парето относятся к распределениям (0, +оо), распределение Стьюдента считается распределением (-оо, Too), а полиномиальное распределение относится к многомерным распределениям. Следует также отметить, что не все распределения можно отнести к одной из этих десяти категорий, так как некоторые распределения можно считать подклассами других. Например, распределение Стьюдента относится к распределениям (-оо, Too), при этом нормальное распределение может считаться подклассом распределения Стьюдента, но нормальному распределению выделена собственная категория. Как видите, не существует каких-либо четких критериев для деления распределений на классы, однако указатель Гейта составлен достаточно наглядно. Читателям, интересующимся различными типами распределений и собирающимся проводить собственные исследования, следует познакомиться с работой Гейта.

Не путайте устойчивое распределение Парето с регулируемым распределением, рассмотренным в главе 4. Устойчивое распределение Парето является реальным распределением,так как оно моделирует вероятность некоторого явления. Регулируемое распределениемоделирует другие (двухмерные) распределения вероятности, подобные распределениюПарето.
Haight, F.A., «Index to the Distributions of Mathematical Statistics», Journal of Research of theNational Bureau of Standards - D. Mathematics and Mathematical Physics 65D, No. 1, pp. 23-60,January-March 1961.