Теория очередей. Форум студентов мти - показать сообщение отдельно - основы сервисологии Очередь учение

Называется также теорией очередей и используется для решения задач оптимизации обслуживания. Рассматривает вероятные модели реальных систем обслуживания. Она используется для минимизации издержек в сфере обслуживания, в производстве, в торговле.

Теория массового обслуживания позволяет определить явные и неявные потери предприятия (общества в целом) при возникновении очередей.

Пример явных потерь – потери рабочего времени основного персонала при возникновении очереди на обслуживании (на проходной предприятия, при обеспечении необходимым инвентарем и т.д.). Расчет явных потерь имеет практическое значение в тех случаях, когда предприятие заинтересовано в увеличении объема продукции. Для определения таких потерь необходимо иметь информацию о значении следующих факторов:

- «цена» минуты рабочего времени основного персонала;

Потери рабочего времени в минутах;

Затраты на привлечение дополнительных работников обслуживания.

Определить цену единицы рабочего времени можно, зная трудоемкость единицы продукции и ее стоимость. Затраты на привлечение дополнительного персонала также несложно определить, представив их как сумму заработной платы работника. Сложнее определить средние потери рабочего времени в ожидании обслуживания. Для решения этой задачи необходимы хронометражные замеры о потоке требований на обслуживание в единицу времени.

Неявные потери состоят в «потерянных клиентах» при обслуживании, например, телефонистками. При этом предполагается, что при возникновении очереди клиент отказывается от обслуживания. При определении неявных потерь рассчитывается упущенная выгода – если известна так называемая «вероятность отказов», можно определить, какую сумму прибыли предприятие могло бы получить дополнительно, если увеличить количество обслуживающего персонала.

Существуют несколько моделей очередей в системах обслуживания. Широко применима простейшая из них одноканальная пуассоновская система с пуассоновским входящим потоком и бесконечным источником требований. В этой модели учитываются:

Средняя частота поступления требований, которая может быть получена по данным хронометража – А;

Средняя пропускная способность канала обслуживания, которая определяется как величина, обратная времени обслуживания – S.

Указанная модель включает в себя следующие характеристики и уравнения:

1. Коэффициент использования системы: A/S.

2. Среднее число клиентов в системе: A / (S-A).

3. Среднее число клиентов, ожидающих в очереди: A 2 / .

4. Среднее время нахождения клиента в системе: 1 / (S-A).

5. Среднее время стояния в очереди: A / .

6. Удельный вес простоев: 1 – A / S.

Пример. Допустим, что в магазин, в котором работает один продавец, заходит в среднем по 18 покупателей в час. Время обслуживания одного покупателя составляет 2 минуты. Исходя из этого:

А = 18 S = 60/3 = 20.

Среднее количество покупателей в очереди = 324/ (20*(20-18))= 8,1.

Среднее время пребывания в очереди = 18/(20*(20-18)) = 0,45 часа.

Если увеличить количество продавцов, то изменится пропускная способность (S = 40) и соответственно изменятся остальные параметры:

Среднее количество покупателей в очереди = 324/ (40*(40-18))= 0,36.

Среднее время пребывания в очереди = 18/(40*(40-18)) = 0,02 часа.

Предположим, что каждый покупатель приносит магазину прибыль в сумме 10 р. Если магазин работает 12 часов ежедневно, то сумму дополнительной прибыли за месяц можно рассчитать:

Прибыль = 10 * 8 * 12 * 30 = 28800 р.

После проведения расчетов необходимо сделать вывод, насколько целесообразно увеличивать количество обслуживающего персонала.

Вопрос 62 Технологическая карта понятия назначение и ее содержание

Технологическая карта - это стандартизированный документ, содержащий необходимые сведения, инструкции для персонала, выполняющего некий технологический процесс или техническое обслуживание объекта.

Технологическая карта (ТК) должна отвечать на вопросы:

Какие операции необходимо выполнять

В какой последовательности выполняются операции

С какой периодичностью необходимо выполнять операции (при повторении операции более одного раза)

Сколько уходит времени на выполнение каждой операции

Результат выполнения каждой операции

Какие необходимы инструменты и материалы для выполнения операции.

Технологические карты разрабатываются в случае:

Высокой сложности выполняемых операций;

Наличие спорных элементов в операциях, неоднозначностей;

При необходимости определения трудозатрат на эксплуатацию объекта.

Как правило, ТК составляется для каждого объекта отдельно и оформляется в виде таблицы. В одной ТК могут быть учтены различные, но схожие модели объектов. Технологическая карта составляется техническими службами предприятия и утверждается руководителем предприятия (главным инженером, главным агрономом).

Технологическая карта наряду с ПОС и проектом производства работ является основным организационно-технологическим документом в строительстве.

Технологическая карта содержит комплекс мероприятий по организации труда с наиболее эффективным использованием современных средств механизации, технологической оснастки, инструмента и приспособлений. В технологическую карту включаются наиболее прогрессивные и рациональные методы по технологии строительного производства, способствующие сокращению сроков и улучшению качества работ, снижению их себестоимости. Технологическая карта обеспечивает не только экономное и высококачественное, но и безопасное выполнение работ, поскольку содержит нормативные требования и правила безопасности.

Наличие организационно-технологических документов, в том числе технологических карт, и их использование в строительном производстве во многом предопределяют мощь и конкурентоспособность строительной организации.

Технологические карты могут использоваться при лицензировании строительной организации - в качестве документов, подтверждающих готовность организации к производству работ, при сертификации систем качества и строительной продукции - в качестве стандартов предприятия.
Технологическая карта составляется для использования в составе проекта производства работ: на возведение здания, сооружения или его части; на выполнение отдельных видов работ: геодезических, земляных, свайных, каменных, монтажных, бетонных (опалубочных, арматурных), кровельных, отделочных, устройства полов, санитарно-технических и тому подобных работ;
на работы подготовительного периода строительства.
Технологическая карта может быть использована при разработке проекта организации строительства, при подготовке тендерной (договорной) документации подряда, для контроля качества выполнения работ заказчиками, генеральными подрядчиками и надзорными органами, при обучении и повышении квалификации рабочих и ИТР, в учебном процессе в строительных вузах и техникумах.
Технологическая карта составляется на специальные работы, в результате которых создаются конструктивные элементы здания, например монтаж подкрановых балок, колонн, стеновых панелей, трубопроводов, систем отопления, вентиляции, водоснабжения.
Технологическая карта разрабатывается для обеспечения строительства рациональными решениями по организации, технологии и механизации строительных работ.
Для составления технологической карты подготавливаются и принимаются решения по выбору технологии (состава и последовательности технологических процессов) строительного производства, по определению состава и количества строительных машин и оборудования, технологической оснастки,

Вопрос 63 Основные черты и этапы стратегического менеджмента .

Причины возникновения страт. мен-та:

Насыщенность рынка товарами и услугами;

Технологические новшества, вызванная научно-технич революция;

Глобализация рынков.

Страт. мен-т – это область деятельности высшего руководства организации, главная обязанность которого состоит в определении предпочтительных направлений и траекторий развития организации, постановки целей, распределения ресурсов и всего того, что дает организации конкурентные преимущества (Зайцев, Соколова).

· Страт. мен-т – это деятельность по разработке миссии, важнейших целей орг и способов их достижения, обеспечивающих её развитие в нестабильной внешней среде путем изменения и самой орг и её внешней среды.

Преимущества стратегического мен-та:

Усиливает конкурентные возможности орг

Позволяет рационально распределять ресурсы

Улучшает адаптацию орг к изменениям внешней средыСпособствует созданию команды.

Объект СМ - организация.

Принципы стратегического управления:

· Обоснованный сознательный выбор цели стратегического развития

· Постоянный поиск новых видов деятельности, направленных на укрепление конкурентных преимуществ

· Индивидуализация стратегий

· Каждая стратегия состоит из 2 частей: запланированная и незапланированная, те продиктованная внешней средой

· Соотношение целей с внешней средой

Этапы стратегического менеджмента.

1 этап – выбор цели с учетом финансового положения фирмы. Здесь можно выделить следующие варианты (типы целей):

а) восстановление платежеспособности; такая цель очень актуальна для нашей экономики, когда рабочие сидят без оплаты, а главная забота руководителя – избежать банкротства;

б) увеличение массы и нормы прибыли;

в) диверсификация, то есть освоение новых сфер деятельности;

2 этап – уточнение, дифференциация цели. Исходя из рыночной ситуации намечается:

а) проникновение на новый рынок – наступательная стратегия фирмы на основе вытеснения конкурентов с этого рынка или сотрудничество с ними;

б) сохранение и развитие рыночных позиций – оборонительная стратегия;

3 этап – выбор типа маркетинговой, конкурентной стратегии. Можно выделить четыре варианта такой стратегии:

а) неценовая конкуренция при широком ассортименте. Данный тип маркетинговой стратегии означает, что фирма конкурентоспособна в связи с уникальным качеством, а не низкой ценой продукции. Это самый перспективный вид конкуренции. Он означает, что только данное предприятие умеет изготавливать определенные изделия и, не снижая цены, конкурентоспособна за счет качества.

4 этап – дифференциация целей в зависимости от этапов жизненного цикла изделия.

5 этап – сегментация рынка и выбор цели для каждого сегмента. Цели фирмы дифференцируются по различным сферам управленческой деятельности. К числу контролируемых показателей можно отнести: сбыт (объем реализации); доходы; уровень конкуренции; динамику цены..

6 этап – разработка целевых программ, обеспечивающих достижение целей.

Базовая цель предприятия дифференцируется для отдельных областей (сегментов)

Очереди и управление ими – один из важнейших аспектов операционного менеджмента. Знать, как обращаться с ними, необходимо при составлении графиков, проектировании операций, планировании товарно-материальных запасов и т.д.

Существование очередей – это нормальное состояние произв. системы; ими довольно эффективно можно управлять с помощью средств системного менеджмента и проектирования.

Хар-ки входящих потоков:

1) вид входящего потока (управляемый, неуправляемый);

2) размер единицы входящего потока заявок: (одиночная заявка, групповая заявка);

3) распределение входящего потока (равномерное, экспоненциальное или пуассоновское, другое);

Очередь очередь очереди и ушел).

Параметры очередей:

1) длина очереди (бесконечная, ограниченная пропускной способностью);

2) кол-во очередей (однолинейная, многолинейная);

3) дисциплина очереди (первым прибыл, первым обслужен; первоочередное обслуживание клиентов с наименьшим временем обслуживания; первоочередное обслуживание по предварит. заказам; первоочередное обслуживание в случае крайней необходимости; ограничение потребностью; другая дисциплина).

Структура очередей:

1. Одноканальная (однофазовая, многофазовая);

2. Многоканальная (однофазовая, многофазовая);

3. Комбинированная:

Структура с переходом многоканального обслуживания в одноканальное (однофазовая, многофазовая),

Структура альтернативного пути.

Сценарии выхода из системы клиента:

1) возвращается в исходную генеральную совокупность;

2) низкая вероятность повторного обслуживания.

4) уровень терпеливости клиентов (терпеливый - стал в очередь и ждет, нетерпеливый - прибыл, осмотрел очередь и ушел; прибыл, немного постоял в очереди и ушел). Параметры очередей

4) уровень терпеливости клиентов (терпеливый - стал в очередь и ждет, нетерпеливый - прибыл, осмотрел очередь и ушел; прибыл, немного постоял в очереди и ушел). Параметры очередей

Сущность теории очередей , основные понятия .
основных

Сущность теории очередей , основные понятия .
Это документ, в соответствии с которым происходит разбиение общего объема на совокупность основных пакетов работ, подлежащих выполнению.

Сущность теории очередей , основные понятия . Очереди

Сущность теории очередей , основные понятия . Очереди и управление ими – один из важнейших аспектов операционного менеджмента. Знать, как о. Стратегии преодоления проблем, которые обусловленные неоднородностью спроса.

Сущность теории очередей , основные понятия . Очереди

Сущность теории очередей , основные понятия . Очереди и управление ими – один из важнейших аспектов операционного менеджмента. Знать, как обращат... подробнее ».

Понятие , сущность , основные
теории основные разновидности, или направления.

Многочисленные демократические теории условно можно подразделить на три основные разновидност. Понятие , сущность , основные признаки политического режима демократии.

Найдено похожих страниц:10

3. Теория очередей

Дать определение характеристикам прибытия линейных систем ожидания

Основные знания о линиях обслуживания называются теорией очередей.

Сервисные затраты возрастают при попытке фирмы увеличивать уровень сервиса. Менеджеры в таком сервисном центре могут варьировать мощность установкой машин и персонала на специальных сервисных станциях, предотвращать или сокращать излишне длинные очереди. На складах бакалейных магазинов менеджеры и служащие могут работать, когда это необходимо, за чековыми аппаратами. В банках и аэропортах частично занятые работники могут быть позваны на помощь. По мере совершенствования сервиса (например, его ускорение) уменьшаются затраты времени, расходуемые на ожидание обслуживания, что показано убывающей линией. Затраты ожидания могут отражать потерянную производительность рабочих, пока их инструменты или машины ожидают ремонта, или просто могут быть оценены затратами потери покупателей по причине плохого сер виса и длинных очередей. 3 таких сервисных системах (например, в неотложной «скорой помощи») цена долгого ожидания может быть невыносимо высока.

Рис. 1. Соотношение между затратами ожидания и сервисными затратами

Обзор трех частей линейных систем ожидания, или очередей:

1) прибытия, или входы системы;

2) дисциплина очереди, или собственно система ожидания;

3) сервисное оборудование.

Эти три компонента имеют определенные характеристики, которые должны быть изучены прежде, чем математические модели очереди могут быть разработаны.

Характеристики прибытия. Входной источник, который генерирует прибытия или клиентов сервисной системы, имеет три главные характеристики. Такими тремя важными характеристика ми являются размер источника, модели прибытия в систему очередей и поведения прибытия.

1. Размер источника. Размер прибытия рассматривается либо как неограниченный (практически бесконечный), либо как ограниченный (конечный). Когда число клиентов или прибытии в любой момент происходит лишь малыми порциями от числа потенциальных прибытии, источник прибытии рассматривается неограниченным, или бесконечным. В практической жизни приме рами неограниченных источников могут быть автомобили на автозаправках, покупатели в супермаркете, студенты, записывающиеся на занятия в большом университете. Большинство моделей очередей допускают такие неограниченные источники прибытии.

Пример ограниченного, или конечного, источника - это центр копирования только с восьмью копировальными аппаратами, которые могут выйти из строя и потребовать обслуживания.

2. Образец прибытии в систему. Заказчики приходят в пункт обслуживания либо по какому-то известному расписанию (напри мер, один пациент каждые 15 минут или один студент на консультацию каждые полчаса), либо случайным образом. Прибытия считаются случайными, если они независимы друг от друга и их появление невозможно точно предсказать.

Часто в теории очередей число прибытии за единицу времени может быть определено с помощью распределения вероятности, известного как распределение Пуассона. Для любого заданного количества –прибытий (два заказчика в час или четыре грузовика в минуту) дискретное распределение Пуассона может быть определено формулой:

для х=0, 1, 2, 3, 4...

где Р (х) - вероятность х прибытии;

х - число прибытии в единицу времени;

а - среднее количество прибытии;

е- основание натурального логарифма 2,7183.

Поведение прибытии. Большинство моделей очередей полагают, что приходящие заказчики являются «терпеливыми». Терпеливые клиенты - это люди или машины, которые ожидают своей очереди до тех пор, пока их не обслужат, и не меняют очередь. К сожалению, жизнь сложнее, поскольку люди не всегда бывают терпеливыми. Клиенты, которые являются нетерпеливыми, отказываются присоединиться к очереди, потому что она слишком длинная, что не соответствует их запросам и интересам. Другая разновидность нетерпеливых клиентов - это те, которые, становясь в очередь, затем оказываются нетерпеливыми и покидают ее без завершения действия. Действительно, обе эти ситуации только подчеркивают необходимость теории очередей и анализа ожидания в очередях.

Дать определение характеристике очереди линейных систем ожидания

Характеристика очереди. Сама по себе очередь ожидания - это второй компонент системы очередей. Длина очереди может быть или ограниченной, или неограниченной. Очередь является ограниченной, если она не может по закону или физическим ограничениям увеличиваться до бесконечности. Это может быть в случае небольшой парикмахерской, которая имеет только ограниченное количество мест для ожидания. Аналитические модели очередей, рассматриваемые в этой главе, работают с неограниченными по длине очередями. Очередь является неограниченной, если нет ограничений на ее размер, как в примере обслуживания прибывающих автомобилей.

Вторая характеристика очередей относится к дисциплине очереди. Это касается правила, по которому клиенты в очереди получают обслуживание. Большинство систем использует дисциплину очереди, известную как правило: «первый пришел - первый ушел» (F1FО).

В госпитале или в супермаркете на экспресс-узле расчета различные приоритеты могут не соответствовать правилу F1FО. Пациенты в госпитале, которые находятся в критическом состоянии, могут идти вперед с приоритетом на обслуживание по сравнению с пациентами с легкими травмами. Покупатели менее чем с десятью покупками могут проходить на экспресс-узел расчета (но тогда они обслуживаются, как «первый пришел - первый обслужен»).

Термин F1FS(«первый пришел - первый обслужен») используется как заменитель F1FО, а другая дисциплина LIFS(«последний пришел - первый обслужен») распространена, когда мате риалы уложены так. что достать их можно только сверху.

Характеристика конфигураций систем обслуживания

Основные конфигурации системы очередей. Системы обслуживания обычно классифицируются по числу каналов, напри мер по числу серверов, и числу фаз, по числу позиций обслуживания, которые должны быть пройдены.

Одноканальная система очереди - с одним сервером, напри мер, банк, который имеет только одно открытое окно обслуживания, или одна точка обслуживания в ресторане быстрого обслуживания. С другой стороны, если банк имеет нескольких клерков и каждый клиент ожидает в одной общей очереди к первому освободившемуся окошку, тогда мы имеем многоканальную систему очереди. Большинство банков сегодня - это многоканальные системы обслуживания, так же как большинство парикмахерских, касс продажи авиабилетов и отделений связи.

Однофазная система обслуживания - это такая, в которой клиент получает обслуживание только от одной станции и затем покидает систему. Ресторан быстрого обслуживания, в котором человек, принимающий заказ, также приносит еду и получает деньги,- это однофазная система. Так, в офисе по выдаче водительских удостоверений, в котором лицо. принимающее заявление, также проводит тестирование и собирает деньги, имеет место однофазная система. Если ресторан требует разместить заказ в одном месте, заплатить в другом и взять еду в третьем, он становится многофазной системой. Соответственно, если агентство по выдаче водительских прав большое или в нем очень много посетителей, клиент, вероятно, вынужден будет прождать в очереди, чтобы заполнить заявление (первая остановка в обслуживании), затем стоять снова на экзамен (вторая остановка в обслуживании) и, наконец, в третьем месте заплатить деньги.

Эта теория представляет особый раздел теории случайных процессов и использует, в основном, аппарат теории вероятностей. Первые публикации в этой области относятся к 20-м гг. XX в. и принадлежат датчанину А. Эрлангу, занимавшемуся исследованиями функционирования телефонных станций - типичных СМО, где случайны моменты вызова, факт занятости абонента или всех каналов, продолжительность разговора. В дальнейшем теория очередей нашла развитие в работах многих советских и зарубежных математиков.

Теория очередей, - раздел теории вероятностей, изучающий математические модели разного рода реальных массового обслуживания систем. Эти модели представляют собой случайные процессы специального вида, которые называются иногда процессами обслуживания. Чаще всего используется описательное определение этих процессов, поскольку формальное их построение оказывается весьма сложным и не всегда эффективным.

Теория массового обслуживания использует главным образом аппарат теории вероятностей. Основные задачи теории массового обслуживания обычно состоят в том, чтобы на основании "локальных" свойств рассматриваемых случайных процессов изучить их стационарные характеристики (если таковые существуют) или поведение этих характеристик за большой промежуток времени. Одна из главных конечных целей исследований в этой области состоит в выборе наиболее разумной организации систем массового обслуживания.

Системы массового обслуживания (СМО)-- это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.

С позиции моделирования процесса массового обслуживания ситуации, когда образуются очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают следующим образом. Поступив в обслуживающую систему, требование присоединяется к очереди других (ранее поступивших) требований. Канал обслуживания выбирает требование из находящихся в очереди, с тем, чтобы приступить к его обслуживанию. После завершения процедуры обслуживания очередного требования канал обслуживания приступает к обслуживанию следующего требования, если таковое имеется в блоке ожидания.

Цикл функционирования системы массового обслуживания подобного рода повторяется многократно в течение всего периода работы обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход системы на обслуживание очередного требования после завершения обслуживания предыдущего требования происходит мгновенно, в случайные моменты времени.

Примерами систем массового обслуживания могут служить: Магазины, банки, ремонтные мастерские, почтовые отделения, посты технического обслуживания автомобилей, посты ремонта автомобилей, персональные компьютеры, обслуживающие поступающие заявки или требования на решение тех или иных задач, аудиторские фирмы, отделы налоговых инспекций, занимающиеся приемкой и проверкой текущей отчетности предприятий, телефонные станции и т.д.

Основными компонентами системы массового обслуживания любого вида являются:

входной поток поступающих требований или заявок на обслуживание;

дисциплина очереди;

механизм обслуживания.

Входной поток требований. Для описания входного потока требуется задать вероятностный закон, определяющий последовательность моментов поступления требований на обслуживание и указать количество таких требований в каждом очередном поступлении. При этом, как правило, оперируют понятием «вероятностное распределение моментов поступления требований». Здесь могут поступать как единичные, так и групповые требования (требования поступают группами в систему). В последнем случае обычно речь идет о системе обслуживания с параллельно-групповым обслуживанием.

Дисциплина очереди -- это важный компонент системы массового обслуживания, он определяет принцип, в соответствии с которым поступающие на вход обслуживающей системы требования подключаются из очереди к процедуре обслуживания. Чаще всего используются дисциплины очереди, определяемые следующими правилами:

- первым пришел - первый обслуживаешься;
- пришел последним -- обслуживаешься первым;
- случайный отбор заявок;
- отбор заявок по критерию приоритетности;
- ограничение времени ожидания момента наступления обслуживания (имеет место очередь с ограниченным временем ожидания обслуживания, что ассоциируется с понятием «допустимая длина очереди»).

Механизм обслуживания определяется характеристиками самой процедуры обслуживания и структурой обслуживающей системы. К характеристикам процедуры обслуживания относятся: продолжительность процедуры обслуживания и количество требований, удовлетворяемых в результате выполнения каждой такой процедуры. Для аналитического описания характеристик процедуры обслуживания оперируют понятием «вероятностное распределение времени обслуживания требований».

Следует отметить, что время обслуживания заявки зависит от характера самой заявки или требований клиента и от состояния и возможностей обслуживающей системы. В ряде случаев приходится также учитывать вероятность выхода обслуживающего прибора по истечении некоторого ограниченного интервала времени.

Структура обслуживающей системы определяется количеством и взаимным расположением каналов обслуживания (механизмов, приборов и т. п.). Прежде всего, следует подчеркнуть, что система обслуживания может иметь не один канал обслуживания, а несколько; система такого рода способна обслуживать одновременно несколько требований. В этом случае все каналы обслуживания предлагают одни и те же услуги, и, следовательно, можно утверждать, что имеет место параллельное обслуживание.

Система обслуживания может состоять из нескольких разнотипных каналов обслуживания, через которые должно пройти каждое обслуживаемое требование, т. е. в обслуживающей системе процедуры обслуживания требований реализуются последовательно. Механизм обслуживания определяет характеристики выходящего (обслуженного) потока требований.

Рассмотрев основные компоненты систем обслуживания, можно констатировать, что функциональные возможности любой системы массового обслуживания определяются следующими основными факторами:

- вероятностным распределением моментов поступлений заявок на обслуживание (единичных или групповых);
- вероятностным распределением времени продолжительности обслуживания;
- конфигурацией обслуживающей системы (параллельное, последовательное или параллельно-последовательное обслуживание);
- количеством и производительностью обслуживающих каналов;
- дисциплиной очереди;
- мощностью источника требований.

В качестве основных критериев эффективности функционирования систем массового обслуживания, в зависимости от характера решаемой задачи могут выступать:

- вероятность немедленного обслуживания поступившей заявки;
- вероятность отказа в обслуживании поступившей заявки;
- относительная и абсолютная пропускная способность системы;
- средний процент заявок, получивших отказ в обслуживании;
- среднее время ожидания в очереди;
- средняя длина очереди;
- средний доход от функционирования системы в единицу времени и т.п.

Предметом теории массового обслуживания является установление зависимости между факторами, определяющими функциональные возможности системы массового обслуживания, и эффективностью ее функционирования. В большинстве случаев все параметры, описывающие системы массового обслуживания, являются случайными величинами или функциями, поэтому эти системы относятся к стохастическим системам.

Независимо от характера процесса, протекающего в системе массового обслуживания, различают два основных вида СМО:

- системы с отказами, в которых заявка, поступившая в систему в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и сразу же покидает очередь;
- системы с ожиданием (очередью), в которых заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, становится в очередь и ждет, пока не освободится один из каналов.

Системы массового обслуживания с ожиданием делятся на системы с ограниченным ожиданием и системы с неограниченным ожиданием.

В системах с ограниченным ожиданием может ограничиваться:

- длина очереди;
- время пребывания в очереди.

В системах с неограниченным ожиданием заявка, стоящая в очереди, ждет обслуживание неограниченно долго, т.е. пока не подойдет очередь.

По количеству каналов обслуживания СМО подразделяются на следующие группы:

Одноканальные СМО. Она состоит из одной очереди и одного устройства обслуживания. Термин "одноканальная" говорит о том, что к устройству обслуживания ведет только один путь.

Многоканальные СМО. Обслуживание очередной заявки может начаться до окончания обслуживания предыдущей заявки. Каждый канал действует как самостоятельное обслуживающее устройство.

По кругу обслуживаемых объектов различают два вида.

Замкнутые СМО. Замкнутая система массового обслуживания - это система массового обслуживания, в которой обслуженные требования могут возвращаться в систему и вновь поступать на обслуживание. Примерами замкнутой СМО являются ремонтные мастерские, сберегательные банки.

Открытые СМО. Для открытой СМО предполагается, что исходная совокупность на столько велика, что изменение ее размеров, вследствие прибытия или возвращения обслуженной заявки в исходную совокупность не оказывает существенного влияния на вероятность появления очередной заявки. массовый обслуживание математический однофазный

Если приборы обслуживания соединяются параллельно, то такое обслуживание называется однофазным, а если приборы соединяются последовательно, то многофазным, (ряд последовательных операций).

Однофазные СМО - это однородные системы, которые выполняют одну и ту же операцию обслуживания.

Многофазные СМО - это системы, в которых каналы обслуживания расположены последовательно и выполняют различные операции обслуживания. Примером многофазной СМО являются станции технического обслуживания автомобилей.

Приведенная классификация СМО является условной. На практике чаще всего СМО выступают в качестве смешанных систем. Например, заявки ожидают начала обслуживания до определенного момента, после чего система начинает работать как система с отказами.

В 1953 году Г. Кендалл предложил стандартные обозначения определений, которые используются исследователями без изменений. Для однофазных СМО символика Кендалла выглядит следующим образом:

A / B / n / m 2.1

Где A и B входной поток и поток обслуживания соответственно,

n - число каналов, n 1,

m - ёмкость накопителя.

Потоки случайных событий могут иметь различный вид:

- М - экспоненциальное распределение длительностей интервалов поступления заявок или длительностей обслуживания (индекс М от определяющего слова марковский процесс, т.е. такой, когда поведение процесса после момента времени t зависит лишь от состояния процесса в момент времени t и не зависит от поведения до момента времени t),
- D - детерминированное распределение длительностей интервалов поступления заявок или длительностей обслуживания,
- Ек - поток Эрланга к - го порядка для длительностей интервалов между приходами заявок или длительностей обслуживания,
- GI - рекуррентный поток (длительности интервалов статистически независимы и имеют одинаковое распределение),
- G - общий вид распределения.

Тогда в символах Кендалла вместо А и В подставляется символ одного из упомянутых потоков, например:

M/M/1 - экспоненциальные потоки с одним каналом обслуживания и неограниченной ёмкостью.

D/GI/5/10 - детерминированный входной поток, рекуррентный поток обслуживания, многоканальное СМО с 5 одинаковыми каналами, ёмкость накопителя 10 и т.д.

Этот метод, предложенный Данцигом, Кестеном и Ранненбергом (метод коллективных меток - method of collective marks) и развитый затем Г.П. Климовым (метод «катастроф»), позволяет легко получить аналитические результаты в ситуациях, когда другие известные методы приводят к трудоемким выкладкам. Особенно эффективен он оказался при анализе ненадежных и приоритетных систем массового обслуживания.

Сущность этого метода заключается в следующем. Пусть требуется найти некоторое распределение, характеризующее функционирование СМО. Производящей функции этого распределения (если распределение дискретное) или его преобразованию Лапласа - Стилтьеса придается вероятностный смысл за счет «раскрашивания» запросов или введения в рассмотрение потока «катастроф». Затем вводится в рассмотрение некоторое (дополнительное) случайное событие и вероятность его подсчитывается в терминах производящей функции или преобразованию Лапласа - Стилтьеса искомого распределения двумя различными способами. В результате получается уравнение, решением которого является функция, которая интересует исследователя.

Проиллюстрируем этот метод, применив его для нахождения вероятностных характеристик системы M\G\1. Важной характеристикой производительности многих реальных систем является распределение периода занятости системы. Период занятости есть интервал времени с момента поступления запроса в пустую систему до момента, когда система впервые вновь окажется пустой. Знание периода занятости позволяет решать задачи, связанные, например, с планированием проведения в системе профилактических работ, исследованием возможности дополнительной загрузки прибора выполнением некоторой второстепенной «фоновой» работы и т.д.

Обозначим функцию стационарного распределения длины периода занятости в рассматриваемой системе, -ее преобразование Лапласа - Стилтьеса.

Считаем, что выполняется условие:

гарантирующее существование стационарного распределения длины периода занятости рассматриваемой СМО.

Утверждение 13.

Преобразование Лапласа - Стилтьеса распределения длины периода занятости рассматриваемой СМО удовлетворяет следующему функциональному уравнению:

Доказательство. Легко видеть, что распределение длины периода занятости системы не зависит от того, в каком порядке обслуживаются запросы. Для облегчения анализа структуры периода занятости предположим, что запросы обслуживаются в инверсионном порядке, то есть на обслуживание всегда выбирается запрос, пришедший в систему последним. Такая дисциплина выбора из очереди кодируется как LIFO (Last In - First Out) или LCFS (Last Came - First Served). При такой дисциплине выбора из очереди каждый запрос как бы порождает период занятости системы запросами, пришедшими в систему после него. Причем структура и, следовательно, распределение длины периода занятости, порожденного некоторым запросом, такие же, как структура и распределение длины периода занятости системы. Используя эти рассуждения, мы приходим к пониманию того, что период занятости системы состоит из времени обслуживания первого запроса, с которого начался период занятости, и случайного числа периодов занятости, порожденных запросами, пришедшими в систему за время обслуживания первого запроса.

Теперь предположим, что независимо от функционирования данной системы поступает простейший поток катастроф интенсивности s. Введем в рассмотрение (дополнительное) событие А, состоящее в том, что за данный период занятости не поступили катастрофы.

Напомним, что согласно вероятностной трактовке преобразования Лапласа - Стилтьеса, величина есть вероятность того, что не произойдет ни одной катастрофы за случайное время, имеющее функцию распределения H(t). Поэтому легко понять, что вероятность события А определяется следующим образом:

Найдем теперь вероятность этого же события иначе. Назовем произвольный запрос «плохим», если за период занятости, порожденный им, наступает катастрофа. Используя достигнутое нами понимание структуры периода занятости, нетрудно убедиться, что для того, чтобы запрос, с которого начался период занятости, был неплохим (вероятность этого есть Р(А)), необходимо и достаточно, чтобы за время его обслуживания не поступили события из суммарного потока катастроф и потока плохих запросов.

Поток катастроф является простейшим потока интенсивности s. Поток плохих запросов получается из исходного простейшего потока интенсивности в результате применения простейшей процедуры рекуррентного просеивания (произвольный запрос включается в просеянный поток с вероятностью независимо от других запросов). Поэтому, согласно Утверждению 6, просеянный поток является простейшим потоком интенсивности Согласно Утверждению 5, суммарный поток катастроф и плохих запросов является простейшим потоком интенсивности

Таким образом, используя еще раз вероятностную трактовку преобразования Лапласа - Стилтьеса мы получаем следующую формулу для вероятности события :

Сравнивая выражения (1.83) и (1.84), мы убеждаемся в справедливости формулы (1.82). Утверждение 13 доказано.

Уравнение (1.82), полученное Дж. Кендаллом в 1951 году, имеет единственное решение в области Res > 0, такое, что

В случае, если распределение времени обслуживания показательное, рассматриваемая система есть М|М|1 и преобразование Лапласа - Стилтьеса распределения времени обслуживания имеет вид: При этом функциональное уравнение (1.82) переходит в квадратное уравнение для неизвестного преобразования Лапласа - Стилтьеса

Решая уравнение (1.85), получаем:

В этой формуле выбираем только знак чтобы полученное решение удовлетворяло условию Обращая теперь преобразование Лапласа - Стилтьеса получаем следующее выражение для производной функции распределения длины периода занятости системы М|М|1:

где функция есть модифицированная функция Бесселя первого рода.

В общем случае уравнение (1.82) можно решать методом итераций, снабдив функцию индексом в левой части уравнения и индексом в правой части. Эта процедура имеет геометрическую скорость сходимости последовательности к значению при фиксированном значении аргумента

Кроме того, путем последовательного дифференцирования уравнения (1.82) с последующей подстановкой аргумента и учета свойства 5 преобразования Лапласа - Стилтьеса, можно получить рекуррентную последовательность формул для вычисления начальных моментов распределения длины периода занятости. Так, среднее значение длины периода занятости и второй начальный момент ее распределения определяются формулой:

Как и следовало ожидать, с ростом коэффициента загрузки и приближением его значения к единице среднее значение периода занятости стремится к бесконечности.

Рассмотрим теперь другую характеристику функционирования системы M\G\1 - число запросов, обслуженных за период занятости. Обозначим

Утверждение 14. Производящая функция удовлетворяет следующему функциональному уравнению:

Доказательство. Производящей функции придадим вероятностный смысл следующим образом. Каждый из запросов независимо от других назовем красным с вероятностью z и синим с дополнительной вероятностью. Произвольный запрос назовем темнокрасным, если он сам красный и за период занятости, порожденный им, в системе обслуживались только красные запросы. Введем событие А, состоящее в том, что запрос, с которого начинается период занятости, является темно-красным. Найдем вероятность этого события. С одной стороны, очевидно, что

С другой стороны, из проделанного выше анализа структуры периода занятости ясно, что для того, чтобы запрос был темно-красным, необходимо и достаточно, чтобы он сам был красным (вероятность этого равна z) и за время его обслуживания могли поступать только темно-красные запросы.

Так как поток запросов - простейший с параметром , а произвольный запрос является темно-красным с вероятностью , то поток нетемно-красных вызовов (как это следует из Утверждения 6) является простейшим с параметром Вспоминая вероятностную интерпретацию преобразования Лапласа - Стилтьеса, из приведенных рассуждений выводим следующую альтернативную формулу для вероятности события

Сравнивая формулы (1.90) и (1.91), убеждаемся в справедливости (1.89). Утверждение 14 доказано.

Уравнение (1.89) определяет единственную аналитическую в области функцию, такую, что

Следствие. Среднее число запросов, обслуженных в системе M\G\1 за один период занятости, задается формулой:

Приведем еще одно доказательство формулы Поллячека-Хинчина для производящей функции распределения вероятностей числа запросов в системе M\G\1 в моменты окончания обслуживания. Каждый из запросов, приходящих в систему, независимо от других назовем красным с вероятностью 2 и синим с дополнительной вероятностью. Введем событие А, состоящее в том что запрос, уходящий в данный момент окончания обслуживания из системы, сам красный и все запросы, остающиеся в системе в этот момент, тоже красные.

Из вероятностной интерпретации производящей функции очевидно следует, что:

где есть искомая производящая функция распределения вероятностей числа запросов в системе в моменты окончания обслуживания.

С другой стороны, для того, чтобы произошло событие А, необходимо и достаточно, чтобы все запросы, которые находились в системе в предыдущий момент окончания обслуживания (если система была непуста), были красными и за время обслуживания не пришли синие запросы, а если система была пуста, то первый пришедший запрос должен быть красным и за время его обслуживания не пришли синие запросы.

Из этих рассуждений следует, что:

Из соотношений этого соотношения и (1.92) очевидным образом следует формула Поллячека - Хинчина:

полученная нами ранее с помощью метода вложенных цепей Маркова.

В заключение подраздела найдем характеристики системы M\G\1 с дисциплиной LIFO.

Выше отмечалось, что распределение периода занятости системы M|G|1 не зависит от дисциплины обслуживания. Поэтому уравнение (1.82) определяет преобразование Лапласа - Стилтьеса распределения периода занятости для всех дисциплин. Кроме того, несложно видеть, что и распределения числа запросов в системе M\G\1 при дисциплинах FIFO и LIFO совпадают и задаются формулой (1.81).

Распределение времени ожидания запроса при дисциплинах FIFO и LIFO различно. При дисциплине FIFO преобразование Лапласа - Стилтьеса стационарного распределения времени ожидания задается формулой (1.52).

Утверждение 15. При дисциплине LIFO преобразование Лапласа - Стилтьеса имеет следующий вид:

где функция является решением уравнения (1.82).

Доказательство. Введем поток катастроф и понятие «плохого» запроса, как это было сделано при доказательстве Утверждения 13. При этом функция есть вероятность того, что за время ожидания данного запроса не наступит катастрофа, а функция есть вероятность того, что произвольный запрос не является «плохим», то есть катастрофа не наступает за период занятости, порожденный этим запросом.

Учитывая сущность дисциплины LIFO и рассуждения, использованные при доказательстве Утверждения 13, получаем формулу:

где есть преобразование Лапласа - Стилтьеса распределения остаточного (после момента поступления запроса, время ожидания которого мы исследуем) времени обслуживания запроса, находящегося на приборе.