Расчет на прочность при переменных напряжениях. Основы расчета на прочность при переменных напряжениях

Расчеты по нормальным и касательным напряжениям проводятся аналогично.

Расчетные коэффициенты выбираются по специальным таблицам.

При расчетах определяют запасы прочности по нормальным и касательным напряжениям.

Запас прочности по нормальным напряжениям:

Запас прочности по касательным напряжениям:

где σ а - амплитуда цикла нормальных напряжений; τ а - амплитуда цикла касательных напряжений.

Полученные запасы прочности сравнивают с допускаемыми. Представленный расчет является проверочным и проводится при конструировании детали.

Контрольные вопросы и задания

1. Изобразите графики симметричного и отнулевого циклов изменения напряжений при повторно-переменных напряжениях.

2. Перечислите характеристики циклов, покажите на графиках среднее напряжение и амплитуду цикла. Что характеризует коэффициент асимметрии цикла?

3. Опишите характер усталостных разрушений.

4. Почему прочность при повторно-переменных напряжениях
ниже, чем при постоянных (статических)?

5. Что называют пределом выносливости? Как строится кривая усталости?

6. Перечислите факторы, влияющие на сопротивление усталости.

306 Практическое занятие 6

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО РАЗДЕЛУ

«Сопротивление материалов»

Практическое занятие 6

Тема 2.2. Расчеты на прочность и жесткость

При растяжении и сжатии

Знать порядок расчетов на прочность и жесткость и расчетные формулы.

Уметь проводить проектировочные и проверочные расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.

Необходимые формулы

Нормальное напряжение

где N - продольная сила; А -площадь поперечного сечения.

Удлинение (укорочение) бруса

Е - модуль упругости; I - начальная длина стержня.

Допускаемое напряжение

[ s ] - допускаемый запас прочности.

Условие прочности при растяжении и сжатии:

Примеры расчетов на прочность и жесткость

Пример 1. Груз закреплен на стержнях и находится в равновесии (рис. П6.1). Материал стержней - сталь, допускаемое напряжение 160 МПа. Вес груза 100 кН. Длина стержней: первого - 2 м, второго - 1м. Определить размеры поперечного сечения и удлинение стержней. Форма поперечного сечения - круг.

Практическое занятие 6 307

Решение

1. Определить нагрузку на стержни. Рассмотрим равновесие
точки В, определим реакции стержней. По пятой аксиоме статистики (закону действия и противодействия) реакция стержня численно
равна нагрузке на стержень.

Наносим реакции связей, действующих в точке В. Освобождаем точку В от связей (рис. П6.1).

Выбираем систему координат так, чтобы одна из осей координат совпала с неизвестной силой (рис. П6.1б).

Составим систему уравнений равновесия для точки В:

Решаем систему уравнений и определяем реакции стержней.

R 1 = R 2 cos60°; R 1= 115,5 ∙ 0,5 = 57,4кН.

Направление реакций выбрано верно. Оба стержня сжаты. Нагрузки на стержни: F 1= 57,4кН; F 2 = 115, 5 кН.

2. Определяем потребную площадь поперечного сечения стержней из условий прочности.

Условие прочности на сжатие: σ = N / A ≤ [σ] , откуда

Стержень 1 (N 1 = F 1):

308 Практическое занятие 6

Полученные диаметры округляем: d 1 = 25мм, d 2= 32 мм.

3. Определяем удлинение стержней Δ l = ----- .

Укорочение стержня 1:

Укорочение стержня 2:

Пример 2. Однородная жесткая плита с силой тяжести 10 кН, нагруженная силой F = 4,5 кН и моментом т = ЗкН∙м, оперта в точке А и подвешена на стержне ВС (рис. П6.2). Подобрать сечение стержня в виде швеллера и определить его удлинение, если длина стержня 1м, материал - сталь, предел текучести 570 МПа, запас прочности для материала 1,5.

Решение

1. Определить усилие в стержне под действием внешних сил. Система находится в равновесии, можно использовать уравнение равновесия для плиты: ∑т А = 0.

Rb - реакция стержня, реакции шарнира А не рассматриваем.

Практическое занятие 6 309

По третьему закону динамики реакция в стержне равна силе, действующей от стержня на плиту. Усилие в стержне равно 14 кН.

2. По условию прочности определяем потребную величину площади попе
речного сечения: о = N / A ^ [а], откуда А > N /[ a ].

Допускаемое напряжение для материала стержня

Следовательно,

3. Подбираем сечение стержня по ГОСТ (Приложение 1).
Минимальная площадь швеллера 6,16 см 2 (№ 5; ГОСТ 8240-89).
Целесообразнее использовать равнополочный уголок № 2

(d = Змм),- площадь поперечного сечения которого 1,13см 2 (ГОСТ 8509-86).

4. Определить удлинение стержня:

На практическом занятии выполняется расчетно-графическая работа и проводится тестовый опрос.

Расчетно-графическая работа

Задание 1. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине бруса. Определить перемещение свободного конца бруса. Двухступенчатый стальной брус нагружен силами F 1, F 2 , F 3- Площади поперечных сечений А 1и А 2 .

310 Практическое занятие 6

Задание 2. Балка АВ, на которую действуют указанные нагрузки, удерживается в равновесии тягой ВС. Определить размеры поперечного сечения тяги для двух случаев: 1) сечение - круг; 2) сечение - уголок равнополочный по ГОСТ 8509-86. Принять [σ] = 160 МПа. Собственный вес конструкции не учитывать.

Практическое занятие 6 311

При защите работы ответить на вопросы тестового задания.

312 Практическое занятие 6

Тема 2.2. Растяжение и сжатие.

Расчеты на прочность и жесткость

Практическое занятие 7 313

Практическое занятие 7

Расчет на прочность при переменных напряжениях Расчет элементов строительных конструкций на выносливость сводится к проверке неравенства вида (19.3) Условие прочности при напряжениях, переменных во времени где (Тщад - максимальное нормальное напряжение; Rv - расчетное сопротивление усталости, зависящее от временного сопротивления материала; а - коэффициент, учитывающий число циклов нагружений; yv - коэффициент, зависящий от вида напряженного состояния и коэффициента асимметрии цикла. Например, для стальных конструкций коэффициент yv определяется по табл. 19.1. Таблица 19.1 Значение коэффициента yv для стальных конструкций "max Р Vv Растяжение Расчетное сопротивление усталости, а также коэффициент а учитывают качество обработки поверхности рассчитываемого элемента, его конструктивное исполнение, наличие концентраторов напряжений. Для частных видов конструкций соотношение (19.3) может принимать несколько отличную форму. Так, при расчете стальных конструкций мостов используется следующее неравенство: (19.4) где R - расчетное сопротивление при растяжении, сжатии и изгибе по пределу текучести материала; т - коэффициент условий работы; _ 1 а, 6 - коэффициенты, учитывающие марку стали и нестационарность нагружения; р - коэффициент асимметрии цикла переменных напряжений; (i - эффективный коэффициент концентрации напряжений. Коэффициент yv, определяемый выражением (19.5), описывает вид диаграммы предельных амплитуд с учетом концентрации напряжений, качества материала и обработки его поверхности, режима нагружения и других факторов. Пример 19.2. Раскос сквозного стального пролетного строения железнодорожного моста при прохождении поезда испытывает воздействие переменного осевого усилия. Наибольшее растягивающее усилие равно Nmnn= 1200 кН, наименьшее (сжимающее) усилие Wmr-=200 кН. Расчетное сопротивление R низколегированной стали марки 15XCHD равно 295 МПа. Коэффициент условий работы т = 0,9. Поперечное-сечение составное (рис. 19.20) и его площадь равна ЛпсШ, = 75 см. Рис. 19.20. Конструкция раскоса стального пролетного строения железнодорожного моста Решение. Коэффициент асимметрии цикла определяется так: IJVmml 1 Л"тах 6 В соответствии со СНиП 2.05.03-84 коэффициент Р принимается равным 1,5; параметры а = 0,72 и 5 = 0,24. Тогда Найдем максимальное нормальное напряжение: N^ 1200 103 ---=--7 = 160 МПа. Лпепо 75 10"4 Правая часть неравенства (19.4) принимает значение yvmR= 0,85 0,9 295 = 226,4 МПа>160 МПа. Следовательно, условие усталостной прочности раскоса выполняет ся. § 19.9. Понятие о малоцикловой усталости При многоцикловом усталостном разрушении, рассмотренном в предыдущих параграфах, материал деформируется упруго. Разрушение начинается в местах концентрации напряжений как результат развития зародившейся трещины и носит хрупкий характер (без появления Л заметных пластических деформаций). Другим видом усталости является малоцикловая усталость, под кото-Малоцикловая рой понимается разрушение при повторных упругопла-усталосгь стических деформациях; она отличается от многоцикло усталостного разрушения наличием макроскопической пластической деформации в зоне излома. Строгой границы между мног цикловом и малоцикловой устало-стями мровеетч нельз В СНиЛ 11-23- -81 отмечается, чти проверку стальных конструкций на малоцикловую про- Ответьте иа воп-чность следует выполнять при числе циклов, меньшем рос № 19 10 Ю\ Рассмотрим схематизированную диаграмму реформирования материала, показанную на рис. 19.21, а Рядом (рис. 19.21, 6) приведен график изменения напряжений во времени. При первом нагружении вдоль кривой ОАВ точка, изображающая состояние материала, движется вдоль диаграммы деформирования по линии О В Затем напряжения уменьшаются и та же точка движется по гинии BBiAi По достижении напряжением минимального значения начинается его возрастание и деформирование совершается Далее но замкнутой линии А,АВВ,. Размах деформаций за один цикл равен ^ "max £min> а размах пластических деформаций ^плтая 1L" 11 максимальная и минимальная пласти- I. ie e1Lir-д £ц ческие деформации ари циклическом изменении напряжений. Характер разрушения при малоциклозой усталости зависит от способности материала к накоплению пластически формаций при циклическом деформировании. Материалы назызаю*ся цикл 1чески стабильными, если остаточная деформация не меняется во зсех цикла*. Рассмотренный выше пример иллюстрирует особенности деформирования таких материалов. Для циклически разунрочняюшихся материалов хара-ктеоны увеличение остаточных Деформаций и рост суммарной пластической деформации. Исключим из этих уравнений перемещения и и v, для чего дважды дифференцируем первую строку по у, вторую - по х, третью - по х и у. Складывая верхние две строки и вычитая нижнюю, получим уравнение (20.6) Уравнение совместности деформаций Оно называется уравнением совместности деформаций, так как дает необходимую связь между деформациями, существующую при произвольных непрерывных функциях перемещений и, v (которые мы исключили). Если тело до деформации мысленно разбить на бесконечно малые «кирпичики», сообщить им деформации ех, еу и уху и попытаться сложить обратно в целое деформированное тело, то окажутся возможными два случая. В первом (рис. 20.5, а) все элементы плотно прилягут друг к другу. Такие деформации совместны, и им отвечает непрерывное поле перемещений. Во втором случае (рис. 20.5, б) между элементами возникают бесконечно малые разрывы и таким деформациям не отвечает какое-либо непрерывное поле перемещений. ц Поле деформаций, которому отвечает непрерывное поле перемещений, называют совместными деформациями. Деформации сов-В противном случае деформации называют несовместны- местные н несов-ми. местные Уравнения (20.3), (20.5) и (20.7) вместе составляют необходимые восемь уравнений, решение которых позволяет найти восемь неизвестных функций рассматриваемой плоской задачи. § 20.3. Определение напряжений по найденным из эксперимента перемещениям Ниже описано, как экспериментально получаются семейства интерференционных полос, представляющих изолинии какого-либо фактора, т. е. геометрическое место точек, в которых этот фактор имеет постоянное значение. Так, в методе муаров и голографичсской интерферометрии могут быть получены изолинии перемещений v = const и и = const. На рис. 20.6 привечена схема семейсг ва изолиний v;=const при плоском напряженном состоянии пластины. Покажем, как, используя уравнения теории упругости, перейти от перемещений к напряжениям. Формулы (20.5) дают возможность вычислить деформации Рис. 20.6. Численное определение деформаций по экспериментально полученному семейству изолиний перемещений для вертикальной линии. Частную производную (dv/dx)j=tgojj вычислим как тангенс угла наклона секущей, проведенной через точки (i - 1) и (/+ 1). Поступая аналох ично и для производной по координате у, найдем Численное диффе- (20.10) реицирование в плоской задаче Аналогично поступают и с семейством изолиний и=const Наметив сетку линий, параллельных осям координат х и у, по формулам (20.9) и (20.10) строят поле деформаций, а затем поле напряжений в исследуемой модели. Так как узловые точки ортогональной сетки в общем случае не совпадают с точками пересечения с изолиниями, то для вычисления деформаций и напряжений в узлах применяют формулы интерполирования. Существуют устройства и соответствующие программы для персональных ЭВМ, позволяющие обработать сетку изолиний в автоматическом режиме. Далее рассмотрим эксперимент с изгибаемой пластиной, для которой получено семейство изолиний прогибов vv = const (рис. 20.7, а). В теории изгиба пластин по аналогии с гипотезой плоских сечений используется гипотеза прямой нормали, согласно которой линия т-и, переходя в положение т,-и, остается прямой (рис. 20.7, б). Тогда при малых прогибах (px-dw/dx, (py-dwjdy и перемещения в горизонтальной плоскости произвольной точки с координатой z будут dw v= -(pyz= -z -. By (20.11) Подставляя формулы (20.11) в (20.9), получим 8 2 и* V" 82w 8хду 82w yxy=-2z (20.12) - Z еу--г Напряжения хху, распределенные по толщине пластины h по линейному закону (рис. 20.7, в), могут быть вычислены при известных деформациях (20.12) по закону Гука (20.8). Для определения вторых производных от функции прогибов вначале получают по формулам интерполирования поле прогибов в узлах ортогональной сетки линий, фрагмент которой показан на рис. 20.8. Тогда производные в точке К можно вычислить по формулам численного дифференцирования:

На рубеже XIX-XX вв. в связи с созданием и вхождением в повседневный быт новых типов машин, установок и транспортных средств, работающих при нагрузках, циклически изменяющихся во времени, выяснилось, что существующие методы расчета не обеспечивали надежные результаты расчета таких конструкций. Впервые с подобным явлением столкнулись па железнодорожном транспорте, когда случился ряд катастроф, связанных с изломом осей вагонов и паровозов.

В дальнейшем выяснилось, что причиной разрушения явились переменные напряжения, которые возникали при движении железнодорожного состава по причине вращения оси вагона вместе с колесами. Однако первоначально было высказано предположение о том, что в процессе длительной эксплуатации металл изменяет свою кристаллическую структуру - устает. Данное предположение не подтвердилось, однако название «расчеты па усталость» сохранилось в инженерной практике.

По результатам дальнейших исследований было установлено, что усталостное разрушение обусловлено процессами накопления в материале детали локальных повреждений и развитием трещин. Именно такие процессы, возникающие при эксплуатации различных машин, транспортных средств, станков и других установок, подверженных вибрационным и другим видам переменных во времени нагрузок, будут рассмотрены далее.

Рассмотрим цилиндрический образец, закрепленный в шпинделе одним концом, на другом, свободном, конце которого через подшипник приложена сила F (рис. 16.1).

Рис. 16.1.

Эпюра изгибающего момента образца меняется по линейному закону, и его максимальная величина равна FI. В точках поперечного сечения образца А и В возникают максимальные но абсолютной величине напряжения. Величина нормального напряжения в точке Л составит

В случае вращения образца с угловой скоростью со точки поперечного сечения изменяют свое положение относительно плоскости действия изгибающего момента. За время t характерная точка А повернется на угол ф = со/ и окажется в новом положении А" (рис. 16.2, а).

Рис. 16.2.

Напряжение в новом положении этой же материальной точки будет равно

Аналогично можно рассмотреть другие точки и прийти к выводу о том, что при вращении образца за счет изменения положения точек нормальные напряжения изменяются по закону косинуса (рис. 16.2, б).

Для объяснения процесса усталостного разрушения придется отказаться от основополагающих гипотез о материале, а именно от гипотезы сплошности и гипотезы однородности. Реальные материалы не являются идеальными. Как правило, в материале изначально присутствуют дефекты в виде несовершенств кристаллической решетки, пор, микротрещин, посторонних включений, являющихся причиной структурной неоднородности материала. В условиях циклического нагружения структурная неоднородность приводит к неоднородности поля напряжений. В наиболее слабых местах детали зарождаются микротрещины, которые под действием переменных во времени напряжений начинают расти, сливаться, превращаясь в магистральную трещину. Попадая в зону растяжения, трещина раскрывается, а в зоне сжатия, наоборот, закрывается.

Малой величины локальная область, в которой возникает первая трещина и откуда начинается ее развитие, называется фокусом усталостного разрушения. Такая область, как правило, находится у поверхности деталей, но не исключено ее появление в глубине материала, если там окажется какое-либо повреждение. Не исключено и одновременное существование нескольких таких областей, и поэтому разрушение детали может начаться из нескольких центров, которые конкурируют между собой. В результате развития трещин сечение ослабляется до тех нор, пока не произойдет разрушение. После разрушения зону развития усталостной трещины сравнительно легко распознать. В сечении детали, разрушенной от усталости, имеются две резко различающиеся области (рис. 16.3).

Рис. 16.3.

1 - область роста трещины; 2 - область хрупкого разрушения

Область 1 характеризуется блестящей гладкой поверхностью и соответствует началу процесса разрушения, который протекает в материале с относительно малой скоростью. На заключительном этапе процесса, когда сечение достаточно сильно ослабнет, происходит быстрое лавинообразное разрушение детали. Этому заключительному этану на рис. 16.3 соответствует область 2, которая характеризуется шероховатой грубой поверхностью из-за быстрого окончательного разрушения детали.

Следует отметить, что теоретическое изучение усталостной прочности металлов связано со значительными трудностями в силу сложности и многофакторности данного явления. По этой причине важнейшим инструментом становится феноменологический подход. В своем большинстве формулы для расчета деталей на усталость получены на основе экспериментальных результатов.

Переменные напряжения приводят к внезапному разрушению деталей, хотя величина этих напряжений существенно ниже предела текучести. Это явление называется усталостью .

Усталостное разрушение начинается с накопления повреждений и образования на поверхности микротрещины. Развитие трещины происходит обычно в направлении, перпендикулярном линии действия наибольших нормальных напряжений. Когда прочность оставшегося сечения становится недостаточной, происходит внезапное разрушение.

Поверхность излома имеет две характерные зоны: зону развития трещины с гладкой поверхностью и зону внезапного разрушения с крупнозернистой поверхностью хрупкого излома.

Способность материала воспринимать многократное действие переменных напряжений без разрушения называется выносливостью или циклической прочностью .

Предел выносливости - σ -1 – наибольшее переменное напряжение которое может выдержать образец бесконечное число циклов без разрушения.

σ -1 – определяется при базовом числе циклов. Для сталей N 0 = 10 7 циклов. Для цветных металлов и закаленных сталей N 0 = 10 8 .

Ориентировочно величину предела выносливости для стали можно определить по эмпирической зависимости:

σ -1 = 0,43·σ в

Расчет на выносливость выполняют после статического расчета, определения размеров и конструктивного оформления детали. Цель расчета – определение фактического коэффициента запаса прочности и сравнение его с допускаемым.

Условие прочности на выносливость:

При сложном напряженном состоянии коэффициент запаса прочности (суммарный) вычисляют по формуле: