Tegneserieoppgave ved lodd 4 bokstaver. Sannsynlighetsproblemer med løsninger

AV: Yulia, du gjorde vitnemålet ditt i studioet til Sergei Tchoban "Coordination of Movements", hvor designobjektet ditt var D-1-blokken i Skolkovo. Så vidt jeg kan si var arbeidet ditt sannsynligvis det mest spesifikke: du designet for et sted hvis kontekst ennå ikke er blitt forfalsket. Hvordan føles det?

Yu.A..: Å jobbe uten en eksisterende kontekst var virkelig litt rart. I Skolkovo-området, som hovedplanen ble utviklet av Sergei Tchobans talebyrå sammen med David Chipperfields selskap, fikk vi en tomt, og vi måtte finne ut hva vi skulle gjøre med det. I det første semesteret ble vi delt inn i 3 grupper på 4 personer hver, og det ble kunngjort en konkurranse mellom oss for en planløsning i ett kvartal. Vi måtte plassere på landet vi fikk, tolv i gjennomsnitt - fem etasjers hus, i henhold til antall studenter i gruppen. Det skjedde slik at laget vårt vant konkurransen: Anya Shevchenko, Dima Stolbovoy, Artem Slizunov og meg. Vi fikk en ganske tøff plan, som ikke bare var begrenset av noen matrikkelparametere, men også av vilkårene og designkoden.

Hva er hovedplanen din?

Vi endret strukturen som var i den opprinnelige versjonen av den generelle planen: for å redusere omfanget av miljøet delte vi vårt kvartal i 4 delblokker med offentlig plass inne i hver. I tillegg hadde hver underblokk sin egen funksjon: bolig, oppstart, en underblokk med en sportsfunksjon og en større bygning, og et område med et herberge, hotell, museum og hovedtorget ligger også der.

Hvilke begrensninger spesifiserte du i designkoden?

Blokken er veldig liten, og intensjonen til hver av deltakerne kan i stor grad påvirke de andre. Derfor foreskrev vi ikke spesifikke materialer, men regulerte mulige formendringer ved å sette "footprint" og FAR. Hvis du for eksempel "gnager", vokser antall etasjer, noe som igjen også er begrenset til et visst nivå.

Hva var neste trinn?

Videre måtte hver av oss utvikle en av bygningene på stedet, men hvilken, med hvilken funksjon - bestemte partiet, trakk vi papirbiter med "mye". Dette var Sergei Tchobans plan. Og denne situasjonen er fundamentalt forskjellig fra den når du selv velger temaet for vitnemålet og designer en bygning med bestemt funksjon, som kanskje drømte om å designe alle seks studieårene. Her måtte vi forene oss med det som ble trukket med lodd, og på den ene siden var det ganske vondt, men på den andre siden er dette en situasjon nær livet.

Hva fikk du?

Jeg var heldig etter min mening. Jeg tegnet en oppstartsbygning. Med visse dimensjoner, som ikke kunne endres. Det viktigste prinsippet jeg gikk ut fra var både ideologisk og funksjonelt: i dag er det en oppstart, og i morgen vil det sannsynligvis ikke lenger være.

Tross alt, hva er Skolkovo generelt? Ingen kan svare på dette spørsmålet forståelig. Når jeg studerte materialene, konkluderte jeg med at Skolkovos egen utviklingsstrategi er fleksibel nok. For meg ble dette hovedbetingelsen som prosjektet mitt måtte oppfylle. Derfor, med en skrogbredde på 12 meter, var det viktig for meg at det ikke var noen ekstra vegger i bygningen min. Jeg etterlot meg ingenting annet enn de avstivende kjernene, som er obligatoriske når det gjelder design. Inne er det et åpent, gratis oppsett. Når det gjelder det ytre utseendet, prøvde jeg å utforme bygningen min slik at den var ganske beskjeden, men samtidig uttrykksfull.

Hovedfasaden viste seg å være en 12 meter rumpe vendt mot boulevarden. Så jeg bestemte meg for å skjerpe formen. Gaveltaket, som har blitt den visuelle aksenten til hele bygningen, spiller en viktig rolle. Hun er et mellomledd mellom to "naboer" til objektet mitt, forskjellig i høyde og uttrykksevne.

Har du dannet din egen holdning til selve ideen til Skolkovo IC i løpet av arbeidet ditt?

I løpet av arbeidet endret det seg. Først var den ideologiske konteksten litt dominerende. Og så begynte vi å oppfatte Skolkovo ikke som et fenomen på skalaen til Russland, men å nøye vurdere problemene på selve stedet. I dag kan det tross alt være et innovasjonssenter, og i morgen kan det være noe annet. Er det derfor bygningen din må rives? God arkitektur kan leve lenger enn den opprinnelige konteksten. Hun danner også en ny.

Var det vanskelig å jobbe i en gruppe? Hvordan ble forholdet bygget i studioet da hver av dere tok opp sitt eget prosjekt?

Ja, selvfølgelig er det vanskelig. Tross alt viste det seg at situasjonen som helhet kunne endre seg radikalt fra hver persons ønsker. Nettstedet er lite nok, og noens ide om å lage, for eksempel en konsoll eller noe annet, kan påvirke for eksempel insolasjonstallene. Og så satte vi oss alle sammen og begynte å diskutere om det var riktig eller ikke.

Den endelige versjonen overrasket meg positivt. Først virket det for meg at alle ønsket om å lage et wow-avhandling-prosjekt, og ikke harmonisk gruppearbeid. Men den generelle planen til slutt viste seg å være ganske balansert. Det ser ut til at vi klarte å finne en "gylden middelvei" mellom personlige ambisjoner og behovet for å følge visse spilleregler.

Hvilke funksjoner lærte Sergey Tchoban?

Det var en glede å jobbe med alle hodene til studioet vårt. I tillegg til Sergei er dette Alexei Ilyin og Igor Chlenov fra Talebyrået, det var også underleverandører som hjalp til med å håndtere visse noder. Opplæringsprosessen ble strukturert på en herlig nøyaktig måte, bokstavelig talt på få minutter. Selv om det nok var vanskelig for Sergey til en viss grad hos oss. Jeg tror han regnet med at vi nesten er profesjonelle. Og vi, jeg kan ikke si at vi fortsatt er barn, men forskjellen mellom en kontoransatt og en student er fortsatt utrolig stor. Han delte sin kunnskap med oss \u200b\u200bikke som lærer, men som praktiserende arkitekt og klarte å få oss til å jobbe mer uavhengig og med hverandre enn med lærere. Det var virkelig "bevegelseskoordinering".

Hva ga to års studier på MARSH deg generelt?

Jeg kan ikke si at det tredje øyet har åpnet seg. Men noen tvil ble løst, noen posisjoner ble styrket. Nå tar jeg en mer ansvarlig holdning til hva jeg gjør og hva jeg sier. Kan være, tusen takk for denne MARSH, kanskje mange takk for denne gangen. Jeg kan si at det mest verdifulle i MARSH, skolens viktigste ressurs, er mennesker og en slags spesiell atmosfære. For det meste for folks skyld, dro jeg dit. Jeg dro til Sergei Sitar, Kiril Ass, Evgeny Viktorovich, Narine Tyutcheva. I tillegg hadde jeg dere, kamerater, som inspirerte og støttet meg. Jeg håper vi vil kommunisere i fremtiden, jeg håper vi vil gjøre noe sammen.

Hvor studerte du før?

Jeg forsvarte bachelorgraden min ved Moskva arkitektoniske institutt fra den vakreste læreren Irina Mikhailovna Yastrebova. Og jeg kan legge til at jeg behandler Moskva Architectural Institute veldig bra og ikke tror at dette er en slags sovjetisk relikvie. Han gir det faglige grunnleggende, og alle bestemmer senere for seg selv hva de vil gjøre.

Hva vil du gjøre nå?

I alle årene jeg har eksistert i arkitektur, har jeg skrevet om det, lest om det, snakket om det, men jeg har aldri opprettet det i ordets fulle forstand. Jeg holdt på med papirarkitektur, vet du, med krav på konseptuell kunst. Og hvis jeg tidligere var helt sikker på at teorien bestemmer praksis, kan jeg ikke tro det før jeg sjekker det ut. Derfor trenger jeg nå å besøke en byggeplass, jeg må forstå hva det er - når du fullførte noe på papiret, deretter kjempet for det, argumenterte, koordinerte, og til slutt står du, ser og forstår: dette er det, det skjedde! Dette er løsningsideen min. Derfor planlegger jeg de neste to årene å øve meg og prøve å gjøre veien til byggeplassen så kort som mulig.

Sannsynlighetsproblemer med løsninger

1. Kombinatorikk

Oppgave 1 . Det er 30 studenter i en gruppe. Det er nødvendig å velge leder, nestleder og fagforeningsarrangør. Hvor mange måter er det å gjøre dette?

Beslutning. Alle de 30 studentene kan velges som leder, noen av de resterende 29 studentene kan velges som stedfortreder, og noen av de resterende 28 studentene kan velges som fagforeningsleder, dvs. n1 \u003d 30, n2 \u003d 29, n3 \u003d 28. I følge multiplikasjonsregelen er det totale antallet N måter å velge leder, hans stedfortreder og fagforeningsarrangøren N \u003d n1´n2´n3 \u003d 30´29´28 \u003d 24360.

Oppgave 2 . To postbud må levere 10 brev til 10 adresser. Hvor mange måter kan de distribuere arbeid på?

Beslutning. Den første bokstaven har n1 \u003d 2 alternativer - enten den første postmannen tildeler den til adressaten, eller den andre. For den andre bokstaven er det også n2 \u003d 2 alternativer osv., Det vil si n1 \u003d n2 \u003d… \u003d n10 \u003d 2. Derfor, i kraft av multiplikasjonsregelen, er det totale antallet måter å distribuere brev mellom to postbud på

Oppgave 3. Det er 100 deler i esken, hvorav 30 deler i 1. klasse, 50 i 2. klasse, resten er i 3. klasse. Hvor mange måter er det å hente en klasse 1 eller 2 del fra en boks?

Beslutning. En del av 1. klasse kan trekkes ut på n1 \u003d 30 måter, 2. klasse - n2 \u003d 50 måter. I følge sumregelen er det N \u003d n1 + n2 \u003d 30 + 50 \u003d 80 måter å trekke ut en del av 1. eller 2. klasse.

Oppgave 5 . Rekkefølgen til syv deltakere i konkurransen bestemmes av lodd. Hvor mange forskjellige trekkalternativer er mulige?

Beslutning.Hver variant av trekningen skiller seg bare i rekkefølgen til deltakerne i konkurransen, det vil si at det er en permutasjon av 7 elementer. Antallet deres er likt

Oppgave 6 . 10 filmer deltar i konkurransen i 5 nominasjoner. Hvor mange alternativer er det for utdeling av premier, hvis alle nominasjoner er satt diverse priser?

Beslutning. Hver av alternativene for å dele ut premier er en kombinasjon av 5 filmer av 10, som skiller seg fra andre kombinasjoner, både i komposisjon og i deres rekkefølge. Siden hver film kan motta premier i en eller flere nominasjoner, kan de samme filmene gjentas. Derfor er antall slike kombinasjoner lik antall plasseringer med repetisjoner på 10 elementer på 5:

Oppgave 7 . 16 personer deltar i sjakkturneringen. Hvor mange spill må spilles i en turnering hvis ett spill skal spilles mellom to deltakere?

Beslutning. Hvert spill spilles av to deltakere av 16 og skiller seg bare fra andre i sammensetningen av deltakepar, det vil si at det er en kombinasjon av 16 elementer på 2. Antallet er likt

Oppgave 8 . Under vilkårene i problem 6, bestemme hvor mange alternativer det er for utdeling av premier, hvis alle nominasjoner er det samme premier?

Beslutning.Hvis de samme premiene blir satt for hver nominasjon, spiller ikke rekkefølgen på filmer i kombinasjonen av 5 premier noen rolle, og antall alternativer er antall kombinasjoner med repetisjoner på 10 elementer på 5 hver, bestemt av formelen

Oppgave 9. Gartneren må plante 6 trær innen tre dager. På hvor mange måter kan han distribuere arbeidet over dagene hvis han planter minst ett tre om dagen?

Beslutning. Anta at en gartner planter trær på rad og kan ta forskjellige løsninger etter hvilket tre du skal stoppe den første dagen og deretter - på den andre. Dermed kan man forestille seg at trærne er atskilt med to skillevegger, som hver kan stå på ett av 5 steder (mellom trærne). Skilleveggene skal være der en om gangen, for ellers blir det ikke plantet et eneste tre en dag. Dermed må du velge 2 elementer av 5 (ingen repetisjoner). Derfor antall måter.

Oppgave 10. Hvor mange firesifrede tall (muligens starter med null) er det som legger opp til 5?

Beslutning.La oss representere tallet 5 som summen av påfølgende enheter, delt inn i grupper etter partisjoner (hver gruppe totalt utgjør neste siffer i tallet) Det er klart at slike partisjoner vil trenge 3. Det er 6 steder for partisjoner (før alle enheter, mellom dem og etter). Hvert sted kan være okkupert av en eller flere partisjoner (i sistnevnte tilfelle er det ingen enheter mellom dem, og det tilsvarende beløpet er null). Betrakt disse stedene som elementer i settet. Dermed må du velge 3 elementer av 6 (med repetisjoner). Derfor er det nødvendige antall tall

Oppgave 11 . Hvor mange måter kan en gruppe på 25 studenter deles inn i tre undergrupper A, B og C på henholdsvis 6, 9 og 10 personer?

Beslutning. Her n \u003d 25, k \u003d 3, n1 \u003d 6, n2 \u003d 9, n3 \u003d 10..gif "bredde \u003d" 160 "høyde \u003d" 41 "\u003e

Oppgave 1 . Det er 5 appelsiner og 4 epler i en boks. Tre frukter velges tilfeldig. Hva er sannsynligheten for at alle tre fruktene er appelsiner?

Beslutning... Elementære utfall her er sett med tre frukter. Siden rekkefølgen på fruktene er irrelevant, vil vi betrakte valget av dem som tilfeldige (og ikke kan repeteres) .. gif "width \u003d" 21 "height \u003d" 25 src \u003d "\u003e. Antallet gunstige utfall er lik antall måter å velge 3 appelsiner av 5 tilgjengelige, det vil si .. gif "width \u003d" 161 height \u003d 83 "height \u003d" 83 "\u003e.

Oppgave 2 . Læreren ber hver av de tre elevene tenke på et hvilket som helst tall fra 1 til 10. Med tanke på at valget av et av de gitte tallene fra hver av elevene er like mulig, finn sannsynligheten for at en av dem vil ha de samme tallene.

Beslutning. La oss først beregne det totale antall utfall. Den første studenten velger ett av 10 tall og har n1 \u003d 10 muligheter, den andre har også n2 \u003d 10 muligheter, og til slutt har den tredje også n3 \u003d 10 muligheter. I kraft av multiplikasjonsregelen er det totale antallet måter: n \u003d n1´n2´n3 \u003d 103 \u003d 1000, det vil si at hele rommet inneholder 1000 elementære utfall. For å beregne sannsynligheten for hendelse A, er det praktisk å gå til motsatt hendelse, det vil si å telle antall tilfeller når alle tre studentene tenker forskjellige tall. Den første har fremdeles m1 \u003d 10 måter å velge et tall på. Den andre studenten har nå bare m2 \u003d 9 muligheter, siden han må passe på at antallet hans ikke faller sammen med det tiltenkte antallet til den første studenten. Den tredje studenten er enda mer begrenset i sitt valg - han har bare m3 \u003d 8 muligheter. Derfor er det totale antall kombinasjoner av unnfangede tall, der det ikke samsvarer, m \u003d 10 × 9 × 8 \u003d 720. Det er 280 tilfeller der det er tilfeldigheter. Derfor er ønsket sannsynlighet P \u003d 280/1000 \u003d 0,28.

Oppgave 3 . Finn sannsynligheten for at nøyaktig 4 sifre sammenfaller i et 8-sifret nummer, og resten er forskjellige.

Beslutning... Hendelse А \u003d (et åttesifret nummer inneholder 4 identiske sifre). Fra tilstandens tilstand følger det at det er fem forskjellige tall i tallet, en av dem gjentas. Antall måter å velge det er lik antall måter å velge ett siffer på 10 sifre..gif "width \u003d" 21 "height \u003d" 25 src \u003d "\u003e. Deretter antall gunstige resultater. Totalt er måtene å komponere 8-sifrede tall på | W | \u003d 108 Den søkte sannsynligheten er

Oppgave 4 . Seks klienter kontakter tilfeldig 5 firmaer. Finn sannsynligheten for at ingen vil kontakte minst ett firma.

Beslutning.Tenk på den motsatte hendelsen https://pandia.ru/text/78/307/images/image020_10.gif "width \u003d" 195 "height \u003d" 41 "\u003e. Total måter å distribuere 6 klienter på 5 firmaer. Herfra ... Derfor,.

Oppgave 5 . La urnen inneholde N kuler, hvorav M er hvite og N - M er svarte. N kuler er hentet fra urnen. Finn sannsynligheten for at det er nøyaktig m hvite baller blant dem.

Beslutning. Siden rekkefølgen til elementene er uviktig her, er antallet av alle mulige mengder volum n av N-elementer lik antall kombinasjoner av m hvite kuler, n - m svart ", er lik, og derfor er den ønskede sannsynligheten lik Р (А) \u003d https: // pandia. ru / text / 78/307 / images / image031_2.gif "width \u003d" 167 "height \u003d" 44 "\u003e.

Oppgave 7 (møteproblem) ... De to personene A og B ble enige om å møtes på et bestemt sted mellom klokka 12 og 13. Den som kom først venter på den andre i 20 minutter, hvorpå han drar. Hva er sannsynligheten for et møte mellom personer A og B, hvis ankomsten til hver av dem kan skje tilfeldig i løpet av den angitte timen og ankomsttidene er uavhengige?

Beslutning.La oss angi øyeblikket for ankomst A til x og person B - gjennom y. For at møtet skal finne sted, er det nødvendig og tilstrekkelig at ôх-уо £ 20. La oss tegne x og y som koordinater på et plan, og velg et minutt som en skalaenhet. Alle mulige utfall er representert med prikkene på et 60-sidig torg, og de som er gunstige for møtet ligger i det skyggelagte området. Ønsket sannsynlighet er lik forholdet mellom arealet til den skyggelagte figuren (figur 2.1) og arealet til hele firkanten: P (A) \u003d (602–402) / 602 \u003d 5/9.

3. Grunnleggende formler for sannsynlighetsteori

Oppgave 1 ... Det er 10 røde og 5 blå knapper i esken. To knapper tas ut tilfeldig. Hva er sannsynligheten for at knappene har samme farge ?

Beslutning... Hendelse A \u003d (knappene i samme farge tas ut) kan representeres som en sum, der hendelser betyr valg av knapper i rødt og av blå farge henholdsvis. Sannsynligheten for å trekke ut to røde knapper er lik, og sannsynligheten for å trekke ut to blå knapper https://pandia.ru/text/78/307/images/image034_2.gif "width \u003d" 19 height \u003d 23 "height \u003d" 23 "\u003e. Gif" bredde \u003d "249" høyde \u003d "83"\u003e

Oppgave 2 ... Blant selskapets ansatte vet 28% engelsk, 30% - tysk, 42% fransk; Engelsk og tysk - 8%, engelsk og fransk - 10%, tysk og fransk - 5%, alle tre språk - 3%. Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt ansatt i firmaet: a) kan engelsk eller tysk; b) kan engelsk, tysk eller fransk; ikke kjenner noen av de listede språkene.

Beslutning.La oss betegne med A, B og C hendelser der en tilfeldig ansatt i firmaet snakker henholdsvis engelsk, tysk eller fransk. Åpenbart bestemmer aksjene til firmaets ansatte som snakker ett eller annet språk sannsynligheten for disse hendelsene. Vi får:

a) P (AÈB) \u003d P (A) + P (B) -P (AB) \u003d 0,28 + 0,3-0,08 \u003d 0,5;

b) P (AÈBÈC) \u003d P (A) + P (B) + P (C) - (P (AB) + P (AC) + P (BC)) + P (ABC) \u003d 0,28 + 0, 3 + 0.42-

-(0,08+0,1+0,05)+0,03=0,8;

c) 1-P (A2B2C) \u003d 0,2.

Oppgave 3 . Familien har to barn. Hva er sannsynligheten for at det eldste barnet er en gutt hvis det er kjent at det er barn av begge kjønn i familien?

Beslutning. La A \u003d (det eldste barnet er en gutt), B \u003d (det er barn av begge kjønn i familien). Vi vil anta at fødselen av en gutt og fødselen av en jente er like sannsynlige hendelser. Hvis fødselen til en gutt er betegnet med bokstaven M, og fødselen til en jente er betegnet med D, så består rommet til alle elementære utfall av fire par :. I dette rommet tilsvarer bare to utfall (MD og DM) hendelsen B. Event AB betyr at det er barn av begge kjønn i familien. Det eldste barnet er en gutt, derfor er det andre (yngste) barnet en jente. Denne AB-hendelsen tilsvarer ett utfall - MD. Dermed | AB | \u003d 1, | B | \u003d 2, og

Oppgave 4 . Mesteren, som har 10 deler, hvorav 3 ikke-standard, sjekker delene en etter en til han kommer over en standard. Hva er sannsynligheten for at han vil sjekke nøyaktig to detaljer?

Beslutning. Hendelse A \u003d (formannen sjekket nøyaktig to deler) betyr at under en slik kontroll viste den første delen seg å være ikke-standard, og den andre var standard. Så hvor \u003d (den første delen viste seg å være ikke-standard) og \u003d (den andre delen er standard). Det er åpenbart at sannsynligheten for begivenhet A1 også er lik , siden før han tok den andre delen, hadde mesteren 9 deler igjen, hvorav bare 2 ikke-standard og 7 standard. Ved multiplikasjonssetningen

Oppgave 5 . I den ene boksen er det 3 hvite og 5 svarte kuler, i den andre boksen er det 6 hvite og 4 svarte kuler. Finn sannsynligheten for at en hvit ball blir fjernet fra minst en boks hvis en ball blir fjernet fra hver boks.

Beslutning... Hendelsen A \u003d (minst en hvit ball ble tatt ut av minst en boks) kan representeres som en sum, der hendelser betyr utseendet til en hvit ball fra henholdsvis første og andre boks..gif "width \u003d" 91 "height \u003d" 23 "\u003e .. gif "width \u003d" 20 "height \u003d" 23 src \u003d "\u003e. gif" width \u003d "480" height \u003d "23"\u003e.

Oppgave 6 . Tre sensorer tar en eksamen i et bestemt emne fra en gruppe på 30 personer, hvor den første intervjuer 6 studenter, den andre med 3 studenter og den tredje med 21 studenter (studentene blir valgt tilfeldig fra listen). Holdningen til de tre sensorene til de som er dårlig forberedt, er annerledes: sjansene for at slike studenter får bestått eksamen med den første læreren er 40%, for den andre - bare 10%, for den tredje - 70%. Finn sannsynligheten for at en dårlig forberedt student vil bestå eksamen .

Beslutning.La oss betegne med hypotesen at den dårlig forberedte studenten svarte henholdsvis første, andre og tredje sensor. Av tilstandens tilstand

, , .

La arrangementet A \u003d (dårlig forberedt student besto eksamen). Så igjen, av tilstanden til problemet

, , .

Ved formelen for total sannsynlighet får vi:

Oppgave 7 ... Firmaet har tre kilder til forsyning av komponenter - firma A, B, C. Firma A står for 50% av den totale leveransen, B - 30% og C - 20%. Det er kjent fra praksis at 10% av delene som leveres av selskap A er mangelfulle, av selskap B - 5% og av selskap C - 6%. Hva er sannsynligheten for at en del tatt tilfeldig vil være god?

Beslutning.La hendelse G være utseendet til en passende del. Sannsynlighetene for hypotesene om at delen ble levert av firmaene A, B, C er henholdsvis P (A) \u003d 0,5, P (B) \u003d 0,3, P (C) \u003d 0,2. De betingede sannsynlighetene for utseendet til en god del i dette tilfellet er P (G | A) \u003d 0,9, P (G | B) \u003d 0,95, P (G | C) \u003d 0,94 (som sannsynligheten for motsatte hendelser til utseendet til en defekt). Ved formelen for total sannsynlighet får vi:

P (G) \u003d 0,5 x 0,9 + 0,3 x 0,95 + 0,2 x 0,94 \u003d 0,923.

Oppgave 8 (se oppgave 6). La det være kjent at studenten ikke besto eksamen, det vil si fikk karakteren "utilfredsstillende". Hvem av de tre lærerne som mest sannsynlig svarte ?

Beslutning.Sannsynligheten for å få en "fiasko" er. Det kreves å beregne betingede sannsynligheter. Etter Bayes formler får vi:

https://pandia.ru/text/78/307/images/image059_0.gif "width \u003d" 183 "height \u003d" 44 src \u003d "\u003e, .

Derfor følger det at sannsynligvis en dårlig forberedt student besto eksamen til en tredje sensor.

4. Gjentatte uavhengige tester. Bernoullis teorem

Oppgave 1 . Terningen kastes 6 ganger. Finn sannsynligheten for at "seks" vil bli droppet nøyaktig 3 ganger.

Beslutning. Å kaste terningen seks ganger kan sees på som en serie uavhengige forsøk med en sannsynlighet for suksess (“seksere”) lik 1/6 og en sannsynlighet for feil lik 5/6. Den nødvendige sannsynligheten beregnes av formelen .

Oppgave 2 ... Mynten kastes 6 ganger. Finn sannsynligheten for at våpenskjoldet trekkes ikke mer enn 2 ganger.

Beslutning. Den ønskede sannsynligheten er lik summen av sannsynligheten for tre hendelser, bestående i det faktum at våpenskjoldet ikke faller ut en gang, enten en eller to ganger:

P (A) \u003d P6 (0) + P6 (1) + P6 (2) \u003d https://pandia.ru/text/78/307/images/image063.gif "bredde \u003d" 445 høyde \u003d 24 "høyde \u003d "24"\u003e.

Oppgave 4 . Mynten vendes 3 ganger. Finn det mest sannsynlige antall suksesser (våpenskjold).

Beslutning. Mulige verdier for antall suksesser i de tre forsøkene som vurderes er m \u003d 0, 1, 2 eller 3. La Am være tilfelle at våpenskjoldet vises m ganger etter tre kast av en mynt. Ved å bruke Bernoulli-formelen er det enkelt å finne sannsynligheten for hendelser Am (se tabell):

Fra denne tabellen kan du se at de mest sannsynlige verdiene er tall 1 og 2 (sannsynlighetene deres er 3/8). Samme resultat kan fås fra setning 2. Faktisk, n \u003d 3, p \u003d 1/2, q \u003d 1/2. Deretter

, dvs.

Mål 5. Som et resultat av hvert besøk av forsikringsagenten, inngås kontrakten med en sannsynlighet på 0,1. Finn det mest sannsynlige antall inngåtte kontrakter etter 25 besøk.

Beslutning.Vi har n \u003d 10, p \u003d 0,1, q \u003d 0,9. Ulikheten for det mest sannsynlige antall suksesser har form: 25 × 0,1–0,9 £ m * £ 25 × 0,1 + 0,1 eller 1,6 £ m * £ 2,6. Denne ulikheten har bare en hel løsning, nemlig m * \u003d 2.

Oppgave 6 ... Det er kjent at skrapgraden for en bestemt del er 0,5%. Inspektøren sjekker 1000 deler. Hva er sannsynligheten for å finne nøyaktig tre defekte deler? Hva er sannsynligheten for å finne minst tre defekte deler?

Beslutning. Vi har 1000 Bernoulli-studier med sannsynligheten for "suksess" p \u003d 0,005. Ved å bruke Poisson-tilnærmingen med λ \u003d np \u003d 5, får vi

2) P1000 (m33) \u003d 1-P1000 (m<3)=1-»1-,

og P1000 (3) "0,14; Р1000 (m³3) "0,875.

Oppgave 7 . Sannsynligheten for et kjøp når en kunde besøker en butikk er p \u003d 0,75. Finn sannsynligheten for at med 100 besøk vil en kunde foreta et kjøp nøyaktig 80 ganger.

Beslutning... I dette tilfellet er n \u003d 100, m \u003d 80, p \u003d 0,75, q \u003d 0,25. Finne , og definer j (x) \u003d 0,2036, så er ønsket sannsynlighet lik Р100 (80) \u003d .

Oppgave 8. Forsikringsselskapet har inngått 40 000 kontrakter. Sannsynligheten for en forsikret hendelse for hver av dem i løpet av året er 2%. Finn sannsynligheten for at det ikke vil være mer enn 870 slike tilfeller.

Beslutning. Etter tilstandens tilstand er n \u003d 40 000, p \u003d 0,02. Finn np \u003d 800,. For å beregne P (m £ 870) bruker vi integrasjonssetningen Moivre-Laplace:

P (0 .

Vi finner verdiene til Laplace-funksjonen fra tabellen:

P (0

Oppgave 9 . Sannsynligheten for at en hendelse inntreffer i hver av de 400 uavhengige forsøkene er 0,8. Finn et positivt tall e slik at den absolutte verdien av avviket til den relative hyppigheten av en hendelse fra sannsynligheten 0,99 ikke overstiger e.

Beslutning. Avhengig av problemets tilstand, p \u003d 0,8, n \u003d 400. Vi bruker en følge av Moivre-Laplace integralsetningen: ... Derfor, ..gif "width \u003d" 587 "height \u003d" 41 "\u003e

5. Diskrete tilfeldige variabler

Oppgave 1 . I en haug med 3 nøkler passer bare en nøkkel til døren. Tastene blir sett gjennom til en passende nøkkel er funnet. Konstruer en fordelingslov for en tilfeldig variabel x - antall testede nøkler .

Beslutning.Antall testede nøkler kan være 1, 2 eller 3. Hvis bare en nøkkel ble testet, betyr dette at denne første nøkkelen umiddelbart kom til døren, og sannsynligheten for en slik hendelse er 1/3. Så hvis det var to testede nøkler, det vil si x \u003d 2, betyr dette at den første nøkkelen ikke passet, og den andre ikke. Sannsynligheten for denne hendelsen er 2/3 × 1/2 \u003d 1/3..gif "width \u003d" 100 "height \u003d" 21 "\u003e Resultatet er neste rad fordeling:

Oppgave 2 . Konstruer fordelingsfunksjonen Fx (x) for en tilfeldig variabel x fra Oppgave 1.

Beslutning. Den tilfeldige variabelen x har tre verdier 1, 2, 3, som deler hele tallaksen i fire mellomrom :. Hvis x<1, то неравенство x£x невозможно (левее x нет значений случайной величины x) и значит, для такого x функция Fx(x)=0.

Hvis 1 £ x<2, то неравенство x£x возможно только если x=1, а вероятность такого события равна 1/3, поэтому для таких x функция распределения Fx(x)=1/3.

Hvis 2 £ x<3, неравенство x£x означает, что или x=1, или x=2, поэтому в этом случае вероятность P(x

Og til slutt, i tilfellet x³3 er ulikheten x £ x tilfredsstilt for alle verdier av den tilfeldige variabelen x, derfor P (x

Så vi fikk følgende funksjon:

Oppgave 3. Den felles fordelingsloven for tilfeldige variabler x og h er gitt ved hjelp av tabellen

Beregn de spesifikke fordelingslovene for bestanddelene x og h. Bestem om de er avhengige..gif "width \u003d" 423 "height \u003d" 23 src \u003d "\u003e;

https://pandia.ru/text/78/307/images/image086.gif "width \u003d" 376 "height \u003d" 23 src \u003d "\u003e.

Delfordelingen for h oppnås på samme måte:

https://pandia.ru/text/78/307/images/image088.gif "width \u003d" 229 "height \u003d" 23 src \u003d "\u003e.

De oppnådde sannsynlighetene kan skrives i samme tabell motsatt tilsvarende verdier av tilfeldige variabler:

La oss nå svare på spørsmålet om uavhengigheten av tilfeldige variabler x og h..gif "width \u003d" 108 "height \u003d" 25 src \u003d "\u003e i denne cellen. For eksempel, i cellen for verdiene x \u003d -1 og h \u003d 1 er det en sannsynlighet 1 / 16, og produktet av de tilsvarende delsannsynlighetene 1/4 × 1/4 er lik 1/16, det vil si at det sammenfaller med fellesannsynligheten. Denne tilstanden blir også sjekket i de resterende fem cellene, og det viser seg å være sant i alle. Derfor er tilfeldige variabler x og h er uavhengige.

Merk at hvis tilstanden vår ble brutt i minst en celle, så bør mengdene anerkjennes som avhengige.

For å beregne sannsynligheten merke cellene som tilstanden https://pandia.ru/text/78/307/images/image092.gif "width \u003d" 574 "height \u003d" 23 src \u003d "\u003e

Oppgave 4 . La den tilfeldige variabelen ξ ha følgende fordelingslov:

Beregn den matematiske forventningen Mx, variansen Dx og standardavviket s.

Beslutning... Per definisjon er forventningen om x

Standardavviket https://pandia.ru/text/78/307/images/image097.gif "width \u003d" 51 "height \u003d" 21 "\u003e.

Beslutning. La oss bruke formelen ... I hver celle i tabellen multipliserer vi nemlig de tilsvarende verdiene, og resultatet multipliseres med sannsynligheten pij, og alt dette summeres over alle celler i tabellen. Som et resultat får vi:

Oppgave 6 . For et par tilfeldige variabler fra oppgave 3, beregne kovarians cov (x, h).

Beslutning. I den forrige oppgaven var den matematiske forventningen allerede beregnet . Det gjenstår å beregne og . Ved å bruke de spesifikke fordelingslovene som er oppnådd for å løse oppgave 3, får vi

; ;

og det betyr

som kan forventes på grunn av uavhengigheten til tilfeldige variabler.

Oppgave 7. Den tilfeldige vektoren (x, h) tar verdiene (0,0), (1,0), (–1,0), (0,1) og (0, –1) med lik sannsynlighet. Beregn kovariansen til tilfeldige variabler x og h. Vis at de er avhengige.

Beslutning... Siden P (x \u003d 0) \u003d 3/5, P (x \u003d 1) \u003d 1/5, P (x \u003d –1) \u003d 1/5; P (h \u003d 0) \u003d 3/5, P (h \u003d 1) \u003d 1/5, P (h \u003d –1) \u003d 1/5, deretter Mx \u003d 3/5´0 + 1/5´1 + 1 / 5´ (–1) \u003d 0 og Мh \u003d 0;

M (xh) \u003d 0´0´1 / 5 + 1´0´1 / 5–1´0´1 / 5 + 0´1´1 / 5–0´1´1 / 5 \u003d 0.

Vi får cov (x, h) \u003d М (xh) –МxМh \u003d 0, og tilfeldige variabler er ukorrelert. Imidlertid er de avhengige. La x \u003d 1, så er den betingede sannsynligheten for hendelsen (h \u003d 0) lik P (h \u003d 0 | x \u003d 1) \u003d 1 og er ikke lik den ubetingede P (h \u003d 0) \u003d 3/5, eller sannsynligheten (ξ \u003d 0, η \u003d 0) er ikke lik produktet av sannsynligheter: P (x \u003d 0, h \u003d 0) \u003d 1/5 /P (x \u003d 0) P (h \u003d 0) \u003d 9/25. Derfor er x og h avhengige.

Oppgave 8 ... De tilfeldige økningene i aksjekursene til to selskaper for dag x og h har en felles fordeling gitt av tabellen:

Finn korrelasjonskoeffisienten.

Beslutning.Først og fremst beregner vi Mxh \u003d 0,3-0,2-0,1 + 0,4 \u003d 0,4. Deretter finner vi de spesifikke fordelingslovene til x og h:

Bestem Mx \u003d 0,5-0,5 \u003d 0; Mh \u003d 0,6-0,4 \u003d 0,2; Dx \u003d 1; Dh \u003d 1-0,22 \u003d 0,96; cov (x, h) \u003d 0,4. Vi får

.

Oppgave 9. De tilfeldige økningene i aksjekursene for to selskaper per dag har avvik Dx \u003d 1 og Dh \u003d 2, og deres korrelasjonskoeffisient er r \u003d 0,7. Finn variansen til prisstigning for en portefølje på 5 aksjer i det første selskapet og 3 aksjer i det andre selskapet.

Beslutning... Ved å bruke egenskapene til varians, kovarians og bestemmelse av korrelasjonskoeffisienten, oppnår vi:

Oppgave 10 . Fordelingen av en todimensjonal tilfeldig variabel er gitt av tabellen:

Finn den betingede fordelingen og den betingede matematiske forventningen h ved x \u003d 1.

Beslutning. Betinget forventning er

Fra problemstillingen finner vi fordelingen av komponentene h og x (den siste kolonnen og den siste raden i tabellen).

Denne seksjonen inneholder den første delen av problemene i sannsynlighetsteori, som er enkle nok til å ikke bare plasseres i versjonen av eksamen i matematikk på profilnivået, men også i versjonen av eksamen for grunnnivå eller i versjonen av eksamen for 9. trinn.

I demo-versjoner Unified State Exam 2020 år med oppgaver for å teste kunnskap om elementene i sannsynlighetsteorien kan forekomme under tallet 10 for grunnnivå og under nummer 4 for profilnivået, samt nummer 10 i OGE-versjonen for klasse 9.

Det er bedre å lære å løse slike problemer trinnvis.

Oppgaver bare for å bestemme sannsynligheten

Sannsynligheten for hendelse A er brøkdelen

P (A) \u003d __, m n

Telleren er tallet m elementære hendelser, gunstig hendelse A, og i nevneren n - Nummer av alle elementære hendelser.

For å løse problemet er det således nødvendig å beregne antall gunstige og antall alle mulige elementære hendelser.
La oss huske - elementære hendelser (testresultater) parvis inkompatibel og like mulig... Noen ganger er det åpenbart, og noen ganger er det verdt å vurdere. "Parvis inkompatibel" betyr for eksempel at en person ikke kan reise på to busser samtidig. Er ikke "like mulig", for eksempel å møte på gaten med en dinosaur og en hund.

Vær oppmerksom på den markerte formuleringen. Det hender ofte at forholdene til to problemer bare er forskjellige i ett ord, og løsningene kan være direkte motsatte. Og omvendt, tilsynelatende forskjellige spørsmål, men faktisk omtrent det samme. Vær forsiktig!

Ikke glem at det ikke kan være gunstigere hendelser enn alle mulige hendelser, noe som betyr at telleren for brøkdelen aldri vil overstige nevneren. Svaret på spørsmålet om sannsynligheten for en hendelse må inneholde et tall som tilfredsstiller vilkåret 0 ≤ P ≤ 1 ... Hvis du får et annet svar, er det åpenbart feil.

Eksempel 1

Om bord på flyet er det 12 seter ved siden av nødutganger og 18 seter bak skilleveggene som skiller hyttene. Resten av setene er upraktiske for en høy passasjer. Passasjer V. er høy. Finn sannsynligheten for at ved innsjekking på tilfeldig plassering passasjer V. får et komfortabelt sete hvis det er 300 seter i flyet.

Beslutning

Hvis "resten av setene er upraktiske", er de nevnte 12 + 18 \u003d 30 seter praktisk.
Passasjer V. kan få et hvilket som helst sete av 300 seter på flyet, noe som betyr alle mulige hendelser n \u003d 300. Men bare de av dem vil være "gunstige" når passasjer V. har kommet til et praktisk sted, slike arrangementer som steder, m = 30.

P (A) \u003d ___ 30 300 = 0,1.

Svar: 0,1

Eksemplet presentert ovenfor implementerer det enkleste konseptet med en elementær hendelse. Siden en person bare kan ta ett sete, er hendelsene uavhengige. Og siden vilkåret spesifikt bestemmer at stedet ble valgt tilfeldig under registreringen, så er de like mulige. Derfor telte vi faktisk ikke hendelser, men seter i flyet.

Eksempel 2

Det er 30 personer i en gruppe turister. De blir kastet inn i et vanskelig tilgjengelig område med helikopter i flere trinn, 6 personer per flytur. Rekkefølgen helikopteret transporterer turister i er tilfeldig. Finn sannsynligheten for at turist P. vil fly den første helikopterflyvningen.

Beslutning

Bestem hvor mange flyreiser helikopteret skal ta
30: 6 \u003d 5 (flyreiser).
Tourist P. kan fly av hvem som helst, men bare en av dem vil være "gunstig" - den første. Derfor n = 5, m = 1.

P (A) \u003d 1/5 \u003d 0,2.

Svar: 0,2

I dette eksemplet bør du allerede tenke på hva som utgjør en elementær hendelse. Her er det en dannet helikoptertur. En person kan bare komme på en flytur, dvs. bare i en gruppe på 6 personer - arrangementene er uavhengige. I forhold til problemet er rekkefølgen på flyreiser tilfeldig, dvs. alle flyreiser for hver gruppe er like mulige. Vi teller flyreiser.

Eksempel 3

Fra settet med naturlige tall fra 10 til 19, velges ett tall tilfeldig. Hva er sannsynligheten for at den kan deles med 3?

Beslutning

La oss skrive ut de gitte tallene på rad og merke de av dem som kan deles med 3.

10, 11, 12 , 13, 14, 15 , 16, 17, 18 , 19

Det viser seg at av 10 gitt tall er 3 tall delbare med 3.
Vi finner svaret ved generell formel

P (A) \u003d 3/10 \u003d 0,3.

Svar: 0,3

Ett tall velges tilfeldig fra settet med naturlige tall fra 107 til 198. Hva er sannsynligheten for at den kan deles med 3?

Da må du huske at "hvert tredje tall i en naturlig rad er delt med 3" (med 4 - hver fjerde, med 5 hver femte ...) og bestemme antall grupper med tre tall i seksjonen av raden fra 107 til 198.
1, 2, ..., 105, 106, 107, 108, ..., 197, 198 , 199, ...
Det er bare 92 tall på dette nettstedet: 198 - 106 \u003d 92.
De utgjør 30 komplette grupper og en ufullstendig (92/3 \u003d 30 hele og 2 i resten). Hver fullstendige gruppe har ett tall som kan deles med 3. I den ufullstendige gruppen, som er de to siste tallene, kan ikke 197 deles med 3, men 198 kan deles. Totalt har vi 30 + 1 \u003d 31 "gunstige" tall av "totalt" 92.

P (A) \u003d 31/92 ≈ 0,337

Sjekk deg selv.

Oppgave 1

Det er 55 billetter i billettsamlingen til biologi, 11 av dem inneholder et spørsmål om botanikk. Finn sannsynligheten for at på en billett tilfeldig valgt til eksamen studenten vil få et spørsmål om botanikk.

Arrangement A - "Velge en billett med et botanikk-spørsmål". Du kan bare velge en billett (arrangementene er uforenlige parvis), alle billettene er de samme (arrangementene er like mulige) og alle billettene er tilgjengelige for studenten (hele gruppen). Så arrangementet "billettvalg" er elementært. Det er like mange slike arrangementer som billetter, dvs. n \u003d 55. Det er like mange gunstige arrangementer som billetter med et botanikk-spørsmål, dvs. m \u003d 11. I henhold til formelen P (A) \u003d 11/55 \u003d 1/5 \u003d 0,2.

Svar: 0,2

Kommentar: Den "hverdagslige" situasjonen er faktisk så kjent og enkel at det er intuitivt klart hvilke hendelser som er grunnleggende og hvilke som er gunstige. Videre vil jeg ikke beskrive denne delen av løsningen i detalj hvis den ikke er nødvendig.

Mål 2.

Det er bare 25 billetter i samlingen av billetter til matematikk, i 10 av dem er det et spørsmål om ulikheter. Finn sannsynligheten for at på en billett tilfeldig valgt til eksamen studenten får ikke spørsmål om ulikheter.

Metode I.
Arrangement A - "billettvalg uten spørsmål om ulikheter". Det er bare 25 billetter, hvis 10 billetter har spørsmål om ulikheter, så har 25 - 10 \u003d 15 billetter ikke. Dermed er det totale antallet mulige utfall n \u003d 25, antall utfall gunstig for hendelse A, m \u003d 15. I henhold til formelen P (A) \u003d 15/25 \u003d 3/5 \u003d 0,6.

Metode II.
Arrangement A - "velge billett med spørsmål om ulikheter". Som i oppgave 1 får vi P (A) \u003d 10/25 \u003d 2/5 \u003d 0,4. Men spørsmålet om dette problemet er det motsatte av spørsmålet om problem 1, dvs. vi trenger sannsynligheten for den motsatte hendelsen B - "valget av billetten uten spørsmål om ulikheter." Sannsynligheten for motsatt hendelse beregnes med formelen P (B) \u003d 1 - P (A) \u003d 1 - 0,4 \u003d 0,6.

Svar: 0,6

Oppgave 3

20 idrettsutøvere deltar i turnmesterskapet: 8 fra Russland, 7 fra USA, resten fra Kina. Rekkefølgen gymnastene utfører bestemmes av mye. Finn sannsynligheten for at den første atleten kommer fra Kina.

Arrangement A - "Den første gymnasten fra Kina som opptrådte."
For å bestemme antall valg, la oss først tenke på hva som er resultatet av trekningen? Hva skal vi ta for en grunnleggende begivenhet? Hvis vi forestiller oss en prosedyre når en idrettsutøver allerede har trukket ut en ball med et prestasjonsnummer, og den andre må trekke noe ut av de gjenværende, vil det være en kompleks løsning ved bruk av betinget sannsynlighet. Svaret kan fås (se for eksempel metode II i oppgave 6). Men hvorfor involvere kompleks matematikk når du kan vurdere den "hverdagslige" situasjonen fra et annet synspunkt?
La oss forestille oss at trekningen er over, og hver gymnast holder allerede en nummerert ball i hånden. Hver har bare en ball, alle ballene har forskjellige tall, ballen med tallet "1" bare en av utøverne. Hvilken? Arrangørene av trekningen er forpliktet til å sikre at alle idrettsutøvere har like mulighet til å motta denne ballen, ellers vil det være urettferdig. Dette betyr at arrangementet - "ballen med nummeret" 1 "for idrettskvinnen" - er elementært.
Det er n \u003d 20 idrettsutøvere totalt, en gunstig begivenhet er en ball med tallet "1" for en kinesisk kvinne, alle idrettsutøvere fra Kina m \u003d 20 - 8 - 7 \u003d 5. I henhold til formelen P (A) \u003d 5/20 \u003d 1/4 \u003d 0,25 ...

Svar: 0,25

Oppgave 4

Kulekonkurransen deltar av 4 idrettsutøvere fra Finland, 7 idrettsutøvere fra Danmark, 9 utøvere fra Sverige og 5 fra Norge. Rekkefølgen idrettsutøverne konkurrerer i bestemmes av lodd. Finn sannsynligheten for at den siste konkurrenten er fra Sverige.

I likhet med forrige oppgave.
Arrangement A - "Den siste utøveren som opptrer er fra Sverige". En grunnleggende begivenhet - "det siste tallet gikk til en bestemt idrettsutøver." Totalt antall idrettsutøvere n \u003d 4 + 7 + 9 + 5 \u003d 25. Gunstig begivenhet - utøveren som fikk siste nummer er fra Sverige. Totalt antall idrettsutøvere fra Sverige m \u003d 9.
I henhold til formelen P (A) \u003d 5/20 \u003d 9/25 \u003d 0,36.

Svar: 0,36

Oppgave 5

25 utøvere konkurrerer i dykkermesterskapet, inkludert 8 hoppere fra Russland og 9 hoppere fra Paraguay. Rekkefølgen på forestillinger er tegnet med lodd. Finn sannsynligheten for at en paraguayansk hopper vil opptre på sjetteplass.

I likhet med de to foregående oppgavene.
Arrangement A - "Den sjette er en hopper fra Paraguay." Elementær begivenhet - "nummer seks for en bestemt idrettsutøver." Totalt antall idrettsutøvere n \u003d 25. Gledelig begivenhet - Idrettsutøver nummeret “6” fra Paraguay. Totalt antall utøvere fra Paraguay m \u003d 9.
I henhold til formelen P (A) \u003d 9/25 \u003d 0,36.

Svar: 0,36

Kommentar: De tre siste oppgavene er i det vesentlige de samme, men ved første øyekast ser spørsmålene deres ut til å være forskjellige. Til hva? Å forvirre studenten? Nei, kompilatorene har en annen oppgave: eksamen bør ha mange forskjellige alternativer med samme vanskelighetsgrad. Så ikke vær redd for det "vanskelige spørsmålet", du må vurdere situasjonen som er beskrevet i problemet fra alle sider.

Oppgave 6

Konkurransen mellom utøvere holdes om 5 dager. Totalt 80 forestillinger kunngjøres - en fra hvert land. Den første dagen er det 8 forestillinger, resten er likt fordelt mellom de resterende dagene. Rekkefølgen på forestillinger er tegnet med lodd. Hva er sannsynligheten for at talen til den russiske representanten vil finne sted den tredje dagen i konkurransen?

Metode I.
Arrangement A - "talen til den russiske representanten vil finne sted på den tredje dagen." Én forestilling kan betraktes som en elementær begivenhet, siden representanter fra alle land er like (en fra hvert land). Totalt n \u003d 80 forestillinger. Den første dagen er det 8 forestillinger, i de resterende 5 - 1 \u003d 4 dager (80 - 8) / 4 \u003d 18 forestillinger. Dette betyr at 18 forestillinger vil finne sted den tredje dagen - dette er arrangementer som er gunstige for russeren, m \u003d 18.
I henhold til formelen P (A) \u003d 18/80 \u003d 9/40 \u003d 0.225.

Metode II.
La begivenhet A - "talen til representanten for Russland vil finne sted på den tredje dagen", begivenhet B - "talen til representanten for Russland ikkevil finne sted den første dagen ", begivenhet C -" talen til den russiske representanten vil finne sted den tredje dagen gitt atat han ikke opptrådte den første dagen. "
Ved definisjonen av den betingede sannsynligheten, er P (A) \u003d P (B) P (C).
80 - 8 \u003d 72 personer vil ikke opptre den første dagen. I henhold til formelen P (B) \u003d 72/80 \u003d 9/10 \u003d 0,9.
Hvis forestillingen til representanten for Russland ikke faller på den første dagen, har han de samme sjansene til å opptre i løpet av de neste 4 dagene (resten av forestillingene fordeles jevnt, noe som betyr at dagene er like mulige). I henhold til formelen P (C) \u003d 1/4 \u003d 0,25.
Derfor er P (A) \u003d 0,9 · 0,25 \u003d 0,255.

Svar: 0,225

Kommentar: Sannsynlighetsproblemer løses ofte forskjellige måter... Velg selv den som er tydeligere for deg.

Oppgave 7

I gjennomsnitt lekker ut av 1000 hagepumper i salg. Finn sannsynligheten for at en pumpe som er tilfeldig valgt å kontrollere ikke lekker.

Hendelse A - "den valgte pumpen lekker ikke".
Det er totalt n \u003d 1000 pumper. 5 av dem lekker, så m \u003d 1000 - 5 \u003d 995 lekker ikke.
I henhold til formelen P (A) \u003d 995/1000 \u003d 0,995.

Svar: 0,995

Oppgave 8

Fabrikken lager poser. I gjennomsnitt er det åtte poser med skjulte mangler per 100 kvalitetsposer. Finn sannsynligheten for at vesken du kjøper vil være av god kvalitet. Rund resultatet til nærmeste hundredel.

Arrangement A - "kvalitet kjøpt veske".
Totalt n \u003d 100 + 8 \u003d 108 poser (100 kvalitet og 8 defekte). Kvalitet m \u003d 100 poser.
I henhold til formelen P (A) \u003d 100/108 \u003d 0,9259259 ≈ 0,93.

Svar: 0,93

Merknad 1: Sammenlign dette problemet med det forrige. Hvor viktig det er å være oppmerksom på hvert ord i tilstanden!
Notat 2: Vi gjentok avrundingsreglene når vi løste ordproblemer.

Oppgave 9

Før starten på den første runden i badmintonmesterskapet, blir deltakerne tilfeldig delt inn i spillpar ved hjelp av uavgjort. Totalt deltar 26 badmintonspillere i mesterskapet, inkludert 10 deltakere fra Russland, inkludert Ruslan Orlov. Finn sannsynligheten for at Ruslan Orlov vil spille med en badmintonspiller fra Russland i første runde?

Arrangement A - "Ruslan Orlov vil spille med en badmintonspiller fra Russland."
Badmintonkonkurranser holdes vanligvis med eliminering, og bare i første runde deltar alle 26 badmintonspillere. Men antall mulige utfall er ikke 26, n \u003d 26 - 1 \u003d 25, fordi Ruslan Orlov ikke kan leke med seg selv. Av samme grunn m \u003d 10 - 1 \u003d 9, fordi Ruslan Orlov er en av de 10 deltakerne fra Russland.
I henhold til formelen P (A) \u003d 9/25 \u003d 0,36.

Svar: 0,36

Oppgaver som bruker elementer av kombinatorikk

Tilleggsregel: hvis noe objekt A kan velges k måter, og objekt B - l måter ( ikke som A), deretter objektet "eller A eller I "kan du velge m + lmåter.

Multiplikasjonsregel: hvis objekt A kan velges k måter, og etter hvert slikt valg kan et annet objekt B velges ( samme det fra objekt A) l måter, deretter par av objekter A og B kan velges m l måter.

Multiplikasjonsregelen kalles også "AND-regelen", og tilleggsregelen er "OR-regelen". Ikke glem å sjekke uavhengigheten av måter for "AND" og inkompatibilitet (ikke slik) for "ELLER".

Følgende oppgaver kan løses både ved å oppregne alternativer og bruke. Jeg gir flere måter å løse hvert problem på, fordi det på en måte kan løses raskt, mens det på den andre tar lang tid, og fordi noen forstår en tilnærming, og noen andre. Men dette betyr ikke at det er helt nødvendig å demontere alle metodene. Det er bedre å lære godt en kjære. Valget er ditt.

Eksempel 4

I et tilfeldig eksperiment kastes en symmetrisk mynt fem ganger. Finn sannsynligheten for at den vil lande hodet to ganger.

Dette problemet kan løses på flere måter. Tenk på den som tilsvarer seksjonsoverskriften, nemlig bare ved å bruke kombinasjonsformler.

Beslutning

I hvert av de fem kastene av mynten kan ett av resultatene realiseres - hoder eller haler - for kort "o" eller "p". Dermed blir resultatet av en serie tester en gruppe på fem bokstaver, bestående av to originale bokstaver, og derfor med repetisjoner. For eksempel betyr "ooror" at to ganger på rad falt hoder, så haler, igjen hoder og igjen haler. Derfor å beregne tallet av alle mulige utfall, må du beregne antall plasseringer fra n \u003d 2 til k \u003d 5 med repetisjoner, som bestemmes av formelen

EN — n k = n k ; EN — 2 5 = 2 5 = 32.

Gunstige utfall - hoder vil falle ut nøyaktig to ganger - er fem ord "ord" sammensatt av tre bokstaver "p" og to "o", som kan være i forskjellige posisjoner, for eksempel "opppo" eller "poopp", dvs. dette er permutasjoner med repetisjoner. Antallet deres bestemmes av formelen

P — n = ______ n! n o! · n p! = ____ 5 !2! 3! = _______ 1 2 3 4 5 1 2 1 2 3 = 10,

Hvor n \u003d 5 antallet omorganiserte bokstaver, n o \u003d 2 og n p \u003d 3 - antall repetisjoner av henholdsvis bokstavene "o" og "p".

Ved formelen for klassisk sannsynlighet får vi P \u003d __ 10 32 = 0,3125

Svar: 0,3125

Men hvis du ikke kjenner disse formlene, ikke vær redd for skoleeksamen i matematikk. Ikke bare på OGE og grunnleggende BRUK, men også på BRUK av profilnivået, er det vanligvis foreslått å vurdere korte serier med tester. I slike tilfeller vil du kunne skrive ut og gjennomgå resultatene eksplisitt. Prøv det.

Oppgave 10

I et tilfeldig eksperiment kastes en symmetrisk mynt tre ganger. Finn sannsynligheten for at den aldri kommer til å lande.

Metode I.
Du kan skrive ned og vurdere alle mulige utfall av tre myntkast: (ooo, oop, oo, opr, roo, pop, ppo, ppr), hvor o er en forkortelse for "heads", p er en forkortelse for "tails". Oppføringen viser at n \u003d 8, m \u003d 1. (Kun gunstig ppr).
I henhold til formelen P (A) \u003d 1/8 \u003d 0,125.

Metode II.
Det kan bemerkes at testbetingelsene tilfredsstiller Bernoulli-ordningen med p \u003d 1/2 og q \u003d 1/2 og bruker formelen
P (0) \u003d C 0 3 (1/2) 0 (1/2) (3-0) \u003d 1 (1/2) 3 \u003d 1/8 \u003d 0,125.

Svar: 0,125

Oppgave 11

I et tilfeldig eksperiment kastes en symmetrisk mynt tre ganger. Finn sannsynligheten for at det vil være hoder nøyaktig en gang.

Metode I.
Testen er den samme og resultatene er de samme som i forrige tilfelle: (ooo, oop, oro, orr, roo, pop, ppo, ppr). Det kan sees fra oppføringen at n \u003d 8, m \u003d 3. (Gunstig: (op, pop, pp)).
I henhold til formelen P (A) \u003d 3/8 \u003d 0,375.

Metode II.
Testbetingelsene tilfredsstiller Bernoulli-skjemaet med p \u003d 1/2 og q \u003d 1/2, dermed med formelen
P (1) \u003d C 1 3 (1/2) 1 (1/2) (3-1) \u003d 3 (1/2) 1 (1/2) 2 \u003d 3/8 \u003d 0,375.

Svar: 0,375

Oppgave 12

I et tilfeldig eksperiment kastes en symmetrisk mynt tre ganger. Finn sannsynligheten for at hoder vil komme opp i hvert fall en gang.

Metode I.
Testen er den samme og resultatene er de samme som i de tidligere tilfellene: (ooo, oop, oo, orr, roo, poop, ppo, ppr). Det kan sees fra oppføringen at n \u003d 8, m \u003d 7. (Gunstig alt unntatt ooo).
I henhold til formelen P (A) \u003d 7/8 \u003d 0,875.

Metode II.
I følge Bernoullis formel tar man hensyn til tilleggsregelen (minst 1 av 3 \u003d eller 1, eller 2 eller 3)
P (A) \u003d P (1) + P (2) + P (3) \u003d C 1 3 (1/2) 1 (1/2) (3-1) + C 2 3 (1/2) 2 (1/2) (3-2) + C 3 3 (1/2) 3 (1/2) (3-3) \u003d (3 + 3 + 1) (1/2) 3 \u003d 7 / 8 \u003d 0,875.

Metode III.
Arrangementet "hoder minst en gang" er motsatt av begivenheten "hoder vil ikke trekkes en gang." Sannsynligheten for sistnevnte er 0,125. Vi definerte det i oppgave 10.
Derfor er P (A) \u003d 1 - 0,125 \u003d 0,875 i henhold til formelen for sannsynligheten for den motsatte hendelsen.

Svar: 0,875

Oppgave 13

I et tilfeldig eksperiment kastes en symmetrisk mynt fire ganger. Finn sannsynligheten for at den aldri kommer til å lande.

La oss bruke multiplikasjonsregelen for uavhengige tester.
For hvert kast er 2 utfall mulig, noe som betyr at med 2 kast er 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 16 utfall mulig.
For hvert kast vil ikke hodene falle ut på en måte, noe som betyr at det med 4 kast ikke vil falle ut 1 · 1 · 1 · 1 \u003d 1 på en måte.
I henhold til formelen P (A) \u003d 1/16 \u003d 0,0625.

Svar: 0,0625

Kommentar: Selvfølgelig kan dette problemet løses på noen av måtene som ble diskutert tidligere. Men jo større antall mulige resultater, jo lengre og mer meningsløst er det å bestemme seg ved å oppregne alternativer.

For de som ikke vet noe annet eller vil teste en kortere løsning med en lengre, vil jeg fortsatt skrive: (oooo, ooop, ooro, oorr, oooo, orop, oro, oppr, pooo, poop, poro, ppp, proo, ppp, ppp , ppprr). Men for å være sikker på at den virkelig er skrevet ut alt mulige resultater, er det fortsatt verdt å telle antall plasseringer fra 2 til 4 med repetisjoner: EN — n k \u003d n k; EN — 2 3 = 2 4 = 16.

Det meste den beste måten for et stort antall kast, Bernoulli-formelen. Prøv det selv i denne oppgaven.

Oppgave 14

I et tilfeldig eksperiment blir to terninger kastet. Finn sannsynligheten for at summen blir 8 poeng. Rund resultatet til nærmeste hundredel.

Metode I.
For en dø kan det være 6 forskjellige utfall av testen (tap av poeng 1,2, ..., 6) og for de andre - 6 utfall uavhengig fra første. Totalt antall mulige utfall når du kaster to terninger bestemmes av multiplikasjonsregelen n \u003d 6 × 6 \u003d 36.
For å bestemme antall gunstige utfall, la oss se fra hvilke vilkår summen 8 oppnås:
1 + 7 = 8; 2 + 6 = 8; 3 + 5 = 8; 4 + 4 = 8; 5 + 3 = 8; 6 + 2 = 8; 7 + 1 = 8.
Det første og det siste alternativet er i vårt tilfelle umulige hendelser, tallet 7 er ikke på vanlig terning. Resten blir realisert hvis den første perioden faller ut på det ene beinet, og den andre på det andre. Gunstige utfall ("2; 6", "3; 5", "4; 4", "5; 3", "6; 2"), totalt m
For en dø kan det være 6 forskjellige utfall av testen (tap av poeng 1,2, ..., 6), og for det andre - 6 utfall, og for det tredje - 6 utfall, uavhengig fra hverandre. Det totale antallet mulige utfall når du kaster tre terninger, bestemmes av multiplikasjonsregelen n \u003d 6 × 6 × 6 \u003d 216.
For å bestemme antall gunstige utfall, la oss se fra hvilke tre termer vi kan få tallet 7. Husk at summen ikke endres fra omorganiseringen av stedene for begrepene.
eller 7 \u003d 1 + 1 + 5 (3 permutasjoner) eller 1 + 2 + 4 (6 permutasjoner) eller 1 + 3 + 3 (3 permutasjoner) eller 2 + 2 + 3 (3 permutasjoner).
I henhold til tilleggsregelen m \u003d 3 + 6 + 3 + 3 \u003d 15 måter å få 7, som summen av poeng på 3 terninger.
I henhold til formelen P (A) \u003d 15/216 \u003d 0,069444444 ≈ 0,07.

(Mer om beregning m: For det første bestemmer vi hvilke termer tallet 7 kan bestå av, for eksempel i henhold til ordningen

,
og ordne vilkårene i stigende rekkefølge (for å eliminere feil med unødvendige eller manglende permutasjoner). Og da teller vi permutasjonene nøyaktig enten etter formlene P k \u003d k! - permutasjoner uten repetisjoner, P k 1, k 2, ..., k n \u003d k! / (K 1! K 2! ... k n!) - permutasjoner med repetisjoner, eller resonnement.
I henhold til formlene: P 3 \u003d 3! \u003d 1 2 3 \u003d 6 og P 1,2 \u003d 3! / (1!2!) \u003d 1 2 3 / (1 1 2) \u003d 3.
Begrunnelse: Hvis to tall er like, og det tredje er forskjellig, så kan det stå på 1., 2. eller 3. plass, du får 3 permutasjoner, hvis alle 3 tallene er forskjellige, så kan hver av dem stå på 1- plassering, og de resterende to tar henholdsvis 2. og 3. eller 3. og 2. plassering, deretter 3 · 2 \u003d 6 permutasjoner.

Metode II.
For denne oppgaven kan du også telle alternativene ved hjelp av platen, men allerede 3-D!

Detaljert løsning bedre utseende i animasjon.

Svar: 0,07

Løse problemer ved å bruke tabeller

Hvis nettleseren din støtter Blitsså kan du se animerte grafikkløsninger

metode II - oppregning av alternativer ved bruk av tabeller. ( Klikk på ikonet for å se.)

Prøv å betrakte disse eksemplene som mer enn en løsning spesifikk oppgave, men også som en illustrasjon til reglene for tillegg og multiplikasjon av testresultater, samt for å endelig bestemme valget av en løsningsmetode for eksamen. Hva er bedre - ved å oppregne alternativer eller formler?

Konklusjon: problemer i teorien om sannsynligheten for denne oppgaven kan løses ved hjelp av en enkelt formel i en handling, hvis du kan telle antall mulige og gunstige hendelser "på fingrene", diagrammer, tabeller ... Jo vanskeligere eksperimentet er ("... en mynt kastes fire ganger ... "," ... tre terninger kastes ... "), jo mer tungvint er den" enkle "løsningen og jo kortere er den" komplekse "en - ved hjelp av formler, regler og teoremer.

Men hvis du fremdeles gjør feil når du løser problemer med den klassiske definisjonen av sannsynlighet, så har de kanskje samme opprinnelse som i den berømte vitsen om dinosauren. I dette tilfellet følger du lenken

Problemer med reglene for tillegg og multiplikasjon av sannsynligheter

• Lyutikas V.S. Skolegutt om teorien om sannsynlighet. - M. "Utdanning", 1976.
• Mosteller F. Femti underholdende sannsynlige problemer med løsninger. Per. fra engelsk. - M. "Science", 1985.