Plotte en funksjon. Ivanova

I denne leksjonen vil vi vurdere teknikken for å konstruere en skisse av en funksjonsgraf, vi vil gi forklarende eksempler.

Tema: Gjentakelse

Leksjon: Skisse en graf av en funksjon (ved hjelp av eksemplet på en brøk-kvadratisk funksjon)

1. Teknikk for tegning av funksjonsgrafer

Målet vårt er å tegne grafen for den brøk-kvadratiske funksjonen. La oss for eksempel ta en funksjon som allerede er kjent for oss:

En brøkfunksjon er gitt, i teller og nevner som det er kvadratiske funksjoner.

Skisseteknikken er som følger:

1. La oss velge intervaller for tegnkonstans og definere på hvert tegn på funksjonen (figur 1)

Vi undersøkte i detalj og fant ut at en funksjon som er kontinuerlig i ODZ bare kan endre tegn når argumentet går gjennom røttene og brytepunktene til ODZ.

Den gitte funksjonen у er kontinuerlig i sin ODZ, vi indikerer ODV:

Finn røttene:

La oss velge intervaller med konstantitet. Vi fant røttene til funksjonen og brytpunktene til definisjonsdomenet - røtter til nevneren. Det er viktig å merke seg at funksjonen bevarer tegnet innen hvert intervall.

Figur: 1. Intervaller av konstant tegnfunksjon

For å bestemme tegnet på en funksjon i hvert intervall, kan du ta et hvilket som helst punkt som tilhører intervallet, erstatte det i funksjonen og bestemme tegnet. For eksempel:

Funksjonen har et plusstegn på intervallet

Funksjonen har et minustegn på intervallet.

Dette er fordelen med intervallmetoden: vi bestemmer tegnet på et enkelt prøvepunkt og konkluderer med at funksjonen vil ha samme tegn over hele det valgte intervallet.

Det er imidlertid mulig å stille tegnene automatisk uten å beregne funksjonens verdier; for dette, bestem tegnet i ekstreme intervaller, og alterner deretter tegnene.

1. La oss bygge en graf i nærheten av hver rot. Husk at røttene til denne funksjonen og:

Figur: 2. Graf i nærheten av røttene

Siden funksjonstegnet på punktet endres fra pluss til minus, ligger kurven først over aksen, går deretter gjennom null og ligger deretter under x-aksen. Poenget er det motsatte.

2. La oss lage en graf i nærheten av hvert gap i ODZ. Husk at røttene til nevneren for denne funksjonen og:

Figur: 3. Grafen over funksjonen i nærheten av diskontinuitetspunktene

Når enten nevneren til en brøkdel er praktisk talt , betyr det at når verdien av argumentet har en tendens til disse tallene, har verdien av brøken en tendens til uendelig. I dette tilfellet, når argumentet nærmer seg trippelen til venstre, er funksjonen positiv og har en tendens til pluss uendelig, til høyre er funksjonen negativ og går ut av minus uendelig. Omtrent fire, tvert imot, til venstre har funksjonen en tendens til minus uendelig, og til høyre forlater den pluss uendelig.

I følge den konstruerte skissen kan vi gjette med noen intervaller funksjonens oppførsel.

Figur: 4. Skisse funksjon graf

Tenk på følgende viktige oppgave - å lage en skisse av grafen til en funksjon i nærheten av uendelig fjerne punkter, det vil si når argumentet har en tendens til å være pluss eller minus uendelig. I dette tilfellet kan de konstante vilkårene forsømmes. Vi har:

Noen ganger kan du finne en slik oversikt over dette:

Figur: 5. Skisse av grafen for funksjonen i nærheten av uendelig fjerne punkter

Vi har oppnådd en omtrentlig karakter av oppførselen til funksjonen gjennom hele definisjonens domene, da må vi avgrense konstruksjonene ved hjelp av derivatet.

2. Løsning av eksempel nr. 1

Eksempel 1 - Skisse en graf av en funksjon:

Vi har tre poeng når vi sender argumentet som funksjonen kan endre tegn på.

Bestem tegn på funksjonen ved hvert intervall. Vi har et pluss på det ekstreme høyre intervallet, så skifter tegnene, siden alle røttene har den første graden.

Vi bygger en skisse av grafen i nærheten av røttene og brytepunktene til ODZ. Vi har: siden funksjonstegnet på punktet endres fra pluss til minus, er kurven først plassert over aksen, deretter går den gjennom null og deretter ligger den under x-aksen. Når enten nevneren til en brøkdel er praktisk talt , betyr det at når verdien av argumentet har en tendens til disse tallene, har verdien av brøken en tendens til uendelig. I dette tilfellet, når argumentet nærmer seg minus to til venstre, er funksjonen negativ og har en tendens til minus uendelig, til høyre er funksjonen positiv og går ut av pluss uendelig. Omtrent to er like.

Finn avledet av funksjonen:

Åpenbart er derivatet alltid mindre enn , derfor reduseres funksjonen i alle seksjoner. Så, i seksjonen fra minus uendelig til minus to, reduseres funksjonen fra null til minus uendelig; i seksjonen fra minus to til , reduseres funksjonen fra pluss uendelig til null; i området fra null til to, reduseres funksjonen fra null til minus uendelig; i området fra to til pluss uendelig, reduseres funksjonen fra pluss uendelig til null.

La oss illustrere:

Figur: 6. Skisse av funksjonsgrafen for eksempel 1

3. Løsning av eksempel 2

Eksempel 2 - Skisse en graf av en funksjon:

Vi bygger en skisse av funksjonsgrafen uten å bruke derivatet.

La oss først undersøke den gitte funksjonen:

Vi har et enkelt punkt når argumentet går gjennom som funksjonen kan endre tegn.

Merk at den gitte funksjonen er merkelig.

Bestem funksjonstegnene ved hvert intervall. Vi har et pluss på ekstrem høyre intervall, da endres tegnet, siden roten har første grad.

Vi bygger en skisse av grafen i nærheten av roten. Vi har: siden funksjonstegnet på punktet endres fra minus til pluss, blir kurven først plassert under aksen, deretter går den gjennom null og ligger deretter over x-aksen.

Nå bygger vi en skisse av grafen til funksjonen i nærheten av uendelig fjerne punkter, det vil si når argumentet har en tendens til å være pluss eller minus uendelig. I dette tilfellet kan de konstante vilkårene forsømmes. Vi har:

Etter å ha fullført trinnene ovenfor, forestiller vi oss allerede en funksjonsgraf, men vi må avgrense den ved hjelp av et derivat.

I denne leksjonen vil vi vurdere teknikken for å konstruere en skisse av en funksjonsgraf, vi vil gi forklarende eksempler.

Tema: Gjentakelse

Leksjon: Skisse en graf av en funksjon (ved hjelp av eksemplet på en brøk-kvadratisk funksjon)

Målet vårt er å tegne grafen for den brøk-kvadratiske funksjonen. La oss for eksempel ta en funksjon som allerede er kjent for oss:

En brøkfunksjon er gitt, i teller og nevner som det er kvadratiske funksjoner.

Skisseteknikken er som følger:

1. La oss velge intervaller for tegnkonstans og definere på hvert tegn på funksjonen (figur 1)

Vi undersøkte i detalj og fant ut at en funksjon som er kontinuerlig i ODZ bare kan endre tegn når argumentet går gjennom røttene og brytepunktene til ODZ.

Den gitte funksjonen у er kontinuerlig i sin ODZ, vi indikerer ODV:

Finn røttene:

Figur: 1. Intervaller av konstant tegnfunksjon

For å bestemme tegnet på en funksjon i hvert intervall, kan du ta et hvilket som helst punkt som tilhører intervallet, erstatte det i funksjonen og bestemme tegnet. For eksempel:

Funksjonen har et plusstegn på intervallet

Funksjonen har et minustegn på intervallet.

Dette er fordelen med intervallmetoden: vi bestemmer tegnet på et enkelt prøvepunkt og konkluderer med at funksjonen vil ha samme tegn over hele det valgte intervallet.

Det er imidlertid mulig å stille tegnene automatisk uten å beregne funksjonens verdier; for dette, bestem tegnet i ekstreme intervaller, og alterner deretter tegnene.

1. La oss bygge en graf i nærheten av hver rot. Husk at røttene til denne funksjonen og:

Figur: 2. Graf i nærheten av røttene

Siden funksjonstegnet på punktet endres fra pluss til minus, ligger kurven først over aksen, går deretter gjennom null og ligger deretter under x-aksen. Poenget er det motsatte.

2. La oss lage en graf i nærheten av hvert gap i ODZ. Husk at røttene til nevneren for denne funksjonen og:

Figur: 3. Grafen over funksjonen i nærheten av diskontinuitetspunktene

I følge den konstruerte skissen kan vi gjette med noen intervaller funksjonens oppførsel.

Figur: 4. Skisse funksjon graf

Tenk på følgende viktige oppgave - å lage en skisse av grafen til en funksjon i nærheten av uendelig fjerne punkter, dvs. når argumentet nærmer seg pluss eller minus uendelig. I dette tilfellet kan de konstante vilkårene forsømmes. Vi har:

Noen ganger kan du finne en slik oversikt over dette:

Figur: 5. Skisse av grafen for funksjonen i nærheten av uendelig fjerne punkter

Vi har oppnådd en omtrentlig karakter av oppførselen til funksjonen gjennom hele definisjonens domene, da må vi avgrense konstruksjonene ved hjelp av derivatet.

Eksempel 1 - Skisse en graf av en funksjon:

Vi har tre poeng når vi sender argumentet som funksjonen kan endre tegn på.

Bestem tegn på funksjonen ved hvert intervall. Vi har et pluss på det ekstreme høyre intervallet, så skifter tegnene, siden alle røttene har den første graden.

Finn avledet av funksjonen:

La oss illustrere:

Figur: 6. Skisse av funksjonsgrafen for eksempel 1

Eksempel 2 - Skisse en graf av en funksjon:

Vi bygger en skisse av funksjonsgrafen uten å bruke derivatet.

La oss først undersøke den gitte funksjonen:

Vi har et enkelt punkt når argumentet går gjennom som funksjonen kan endre tegn.

Merk at den gitte funksjonen er merkelig.

Bestem funksjonstegnene ved hvert intervall. Vi har et pluss på ekstrem høyre intervall, da endres tegnet, siden roten har første grad.

Nå bygger vi en skisse av grafen til funksjonen i nærheten av uendelig fjerne punkter, dvs. når argumentet nærmer seg pluss eller minus uendelig. I dette tilfellet kan de konstante vilkårene forsømmes. Vi har:

Etter å ha fullført trinnene ovenfor, forestiller vi oss allerede en funksjonsgraf, men vi må avgrense den ved hjelp av et derivat.

Finn avledet av funksjonen:

Vi velger intervaller for konstanten til derivatet: kl. ODZ her. Dermed har vi tre konstante intervaller for derivatet og tre seksjoner av monotonisiteten til den opprinnelige funksjonen. La oss bestemme tegnene på derivatet på hvert intervall. Når derivatet er positivt, funksjonen øker; når derivatet er negativt, reduseres funksjonen. I dette tilfellet er poenget minimum, siden derivatendringstegnet fra minus til pluss; tvert imot, maksimumspunktet.

I denne leksjonen vil vi vurdere teknikken for å konstruere en skisse av en funksjonsgraf, vi vil gi forklarende eksempler.

Tema: Gjentakelse

Leksjon: Skisse en graf av en funksjon (ved hjelp av eksemplet på en brøk-kvadratisk funksjon)

Målet vårt er å tegne grafen for den brøk-kvadratiske funksjonen. La oss for eksempel ta en funksjon som allerede er kjent for oss:

En brøkfunksjon er gitt, i teller og nevner som det er kvadratiske funksjoner.

Skisseteknikken er som følger:

1. La oss velge intervaller for tegnkonstans og definere på hvert tegn på funksjonen (figur 1)

Vi undersøkte i detalj og fant ut at en funksjon som er kontinuerlig i ODZ bare kan endre tegn når argumentet går gjennom røttene og brytepunktene til ODZ.

Den gitte funksjonen у er kontinuerlig i sin ODZ, vi indikerer ODV:

Finn røttene:

Figur: 1. Intervaller av konstant tegnfunksjon

For å bestemme tegnet på en funksjon i hvert intervall, kan du ta et hvilket som helst punkt som tilhører intervallet, erstatte det i funksjonen og bestemme tegnet. For eksempel:

Funksjonen har et plusstegn på intervallet

Funksjonen har et minustegn på intervallet.

Dette er fordelen med intervallmetoden: vi bestemmer tegnet på et enkelt prøvepunkt og konkluderer med at funksjonen vil ha samme tegn over hele det valgte intervallet.

Det er imidlertid mulig å stille tegnene automatisk uten å beregne funksjonens verdier; for dette, bestem tegnet i ekstreme intervaller, og alterner deretter tegnene.

1. La oss bygge en graf i nærheten av hver rot. Husk at røttene til denne funksjonen og:

Figur: 2. Graf i nærheten av røttene

Siden funksjonstegnet på punktet endres fra pluss til minus, ligger kurven først over aksen, går deretter gjennom null og ligger deretter under x-aksen. Poenget er det motsatte.

2. La oss lage en graf i nærheten av hvert gap i ODZ. Husk at røttene til nevneren for denne funksjonen og:

Figur: 3. Grafen over funksjonen i nærheten av diskontinuitetspunktene

I følge den konstruerte skissen kan vi gjette med noen intervaller funksjonens oppførsel.

Figur: 4. Skisse funksjon graf

Noen ganger kan du finne en slik oversikt over dette:

Figur: 5. Skisse av grafen for funksjonen i nærheten av uendelig fjerne punkter

Vi har oppnådd en omtrentlig karakter av oppførselen til funksjonen gjennom hele definisjonens domene, da må vi avgrense konstruksjonene ved hjelp av derivatet.

Eksempel 1 - Skisse en graf av en funksjon:

Vi har tre poeng når vi sender argumentet som funksjonen kan endre tegn på.

Bestem tegn på funksjonen ved hvert intervall. Vi har et pluss på det ekstreme høyre intervallet, så skifter tegnene, siden alle røttene har den første graden.

Finn avledet av funksjonen:

La oss illustrere:

Figur: 6. Skisse av funksjonsgrafen for eksempel 1

Eksempel 2 - Skisse en graf av en funksjon:

Vi bygger en skisse av funksjonsgrafen uten å bruke derivatet.

La oss først undersøke den gitte funksjonen:

Vi har et enkelt punkt når argumentet går gjennom som funksjonen kan endre tegn.

Merk at den gitte funksjonen er merkelig.

Bestem funksjonstegnene ved hvert intervall. Vi har et pluss på ekstrem høyre intervall, da endres tegnet, siden roten har første grad.

Etter å ha fullført trinnene ovenfor, forestiller vi oss allerede en funksjonsgraf, men vi må avgrense den ved hjelp av et derivat.

Finn avledet av funksjonen:

"Avledede problemer" -? F (x) \u003d f (x) - f (x0). x0 x0 +? x. Hvordan kan du forestille deg øyeblikkelig hastighet? Øyeblikkelig hastighetsproblem. y. Hvordan kan du forestille deg øyeblikkelig hastighet? ? X \u003d x-x0. Det som er sagt er skrevet i formen. Først definerte vi "territoriet" til forskningen vår. ALGORITM. Hastigheten v øker gradvis.

"Undersøkelse av den avledede funksjonen" - Kanonen skyter i en vinkel mot horisonten. Alternativ 1 A C D Alternativ 2 D B B. MOU Meshkovskaya sosh Matematikklærer Kovaleva tv. Funksjonen er definert på segmentet [-4; 4]. Hvordan er derivat og funksjon relatert? Svar: Å BRUKE DERIVAT FOR Å STUDERE EN FUNKSJON som øker og reduserer funksjonene. UTFORDRING Husker du historien om baron Munchausen?

"Derivat av en kompleks funksjon" - En kompleks funksjon. Regelen for å finne derivatet av en kompleks funksjon. Avledet av en enkel funksjon. Avledet av en kompleks funksjon. Kompleks funksjon: Eksempler:

"Anvendelse av derivatet til studiet av funksjoner" - 6. -1. 8. Angi de kritiske punktene i funksjonen ved hjelp av grafen for derivatet av funksjonen. 1. \u003d. 1. juli 1646 - 14. november 1716, oppvarming. Tegn på økende og synkende funksjoner. Bestem tegnet på funksjonens derivat med intervaller.

"Leksjonsderivat av en kompleks funksjon" - Derivat av en kompleks funksjon. Beregn hastigheten til punktet: a) på tidspunktet t; b) for øyeblikket t \u003d 2 s. Finn derivatene til funksjonene :, If. Brooke Taylor. Finn differensialen til funksjonen: Ved hvilke verdier av x holder likheten. Punktet beveger seg i en rett linje i henhold til loven s (t) \u003d s (t) \u003d (s er banen i meter, t er tiden i sekunder).

"Definisjon av derivatet" - 1. Bevis: f (x +? X). La u (x), v (x) og w (x) være funksjoner som kan differensieres i et intervall (a; b), C være en konstant. f (x). Ligning av en rett linje med en skråning: Ved Newton binomialformel har vi: Teorem. Deretter: Avledet av en kompleks funksjon.

Det er totalt 31 presentasjoner

Ditt personvern er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernpolicy som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Les personvernreglene våre og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personlig informasjon

Med personlig informasjon menes data som kan brukes til å identifisere en bestemt person eller kontakte ham.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personlig informasjon vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon vi samler inn:

Når du sender inn en forespørsel på nettstedet, kan vi samle inn forskjellige opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, e-postadresse, etc.

Hvordan vi bruker din personlige informasjon:

Den personlige informasjonen vi samler inn, lar oss kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige varsler og meldinger.
Vi kan også bruke personlig informasjon til interne formål, for eksempel gjennomføring av revisjon, dataanalyse og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi tilbyr og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
Hvis du deltar i premietrekning, konkurranse eller lignende kampanjer, kan vi bruke informasjonen du oppgir til å administrere slike programmer.

Utlevering av informasjon til tredjeparter

Vi avslører ikke informasjon mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

Hvis det er nødvendig - i samsvar med loven, rettskjennelse, i rettsforhandlinger og / eller på grunnlag av offentlige forespørsler eller forespørsler fra myndighetene på territoriet til Den russiske føderasjonen - å avsløre din personlige informasjon. Vi kan også utlevere informasjon om deg hvis vi finner ut at slik utlevering er nødvendig eller hensiktsmessig av sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre sosialt viktige grunner.
I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personlig informasjon vi samler inn til en passende tredjepart - den juridiske etterfølgeren.

Beskyttelse av personlig informasjon

Vi tar forholdsregler - inkludert administrativ, teknisk og fysisk - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, så vel som mot uautorisert tilgang, utlevering, endring og ødeleggelse.

Respekt for personvernet ditt på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er trygg, bringer vi reglene om konfidensialitet og sikkerhet til våre ansatte, og overvåker strengt gjennomføringen av konfidensialitetstiltak.